[7월의 퍼즐 해설] 타일 가게에서 생긴 기묘한 일

이번 문제의 원작은 퍼즐 게시판 puzzling.stackexchange.com의 Rosie F가 만든 Megan and the parcels of tiles이다.

타일 묶음 7kg짜리 두 개와 11kg짜리 하나를 합하면 정확히 25kg이 된다는 데 주목하자. 그러니까 두 번째 주문은 25kg씩 상자에 꽉 차게 넣었지만, 첫 번째 주문은 상자에 빈곳이 많아서 타일이 5장 적은데도 상자 하나를 더 썼다고 생각할 수 있다.

만약 두 번째 주문에서 상자 하나에 빈곳이 있었다면, 그 상자에는 \(25-7=18\), \(25-7\times2=11\) 또는 \(25-11=14\)만큼이 들어 있어야 한다. 두 번째 주문에서 상자를 하나만 썼다면, 첫 번째 주문은 각각 \(18-5=13\), \(11-5=6\) 또는 \(14-5=9\)가 되고, 이 수들은 7과 11을 조합하여 만들 수 없으므로 묶음을 풀어서 다시 넣어야 한다. 그러면 상자의 개수가 늘지 않으므로, 묶음을 풀지 않고 포장하는 경우를 생각하려면 첫 번째 주문에서 타일이 충분히 많아서 상자를 여러개 써야 한다. 이 경우 \(13 + 25\times2 = 7 \times 5 + 11 \times 3\)이고, 이 타일 묶음을 배분하면
\[
(7\times 2 + 11\times 1) + (7 \times 2 + 11 \times 1) + (7 \times 1 + 11 \times 1)
\]
이 되어 두 번째 주문도 세 상자(\(18+25+25\))이고 첫 번째 주문도 세 상자가 된다.

같은 식으로
\[
6 + 25 \times 2 = (7 \times 3) + (7 \times 3) + (7 \times 2)
\]
이고
\[
9 + 25 \times 3 = (7 \times 3) + (7 \times 3) + (7 \times 3) + (7 \times 3)
\]
이므로 첫 번째 주문의 상자 수가 늘지 않는다. 따라서 두 번째 주문은 상자마다 25kg을 꽉꽉 채워야 한다.

두 번째 주문을 상자 하나로 포장했다면, 첫 번째 주문은 20kg이 되는데 이것은 7과 11을 조합하여 만들 수 없으므로 제외. 두 번째 주문을 상자 두 개로 포장했다면, 첫 번째 주문은 \(25 \times 2 – 5 = 45\)인데 이것도 7과 11을 조합하여 만들 수 없다.

다음으로 두 번째 주문을 상자 세 개로 포장한 경우를 생각해 보면, 첫 번째 주문은 \(25 \times 3- 5 = 70\)이 되고, 이것은 7개짜리 묶음 열 개로 만들 수 있다. 상자 하나에는 7개짜리 묶음을 세 개까지만 담을 수 있으므로 타일 70개를 담으려면 \(3+3+3+1\)로 상자 네 개가 필요하다. 이것은 두 번째 주문에 비해 상자가 하나 많으므로 문제의 조건에 맞다. 그리고 여기에 사용된 타일 묶음의 수는 첫 번째 주문에 10개, 두 번째 주문에 \(3 \times 3 = 9\)개이므로, 대화에서 창고에 타일 묶음이 20개밖에 없었다는 조건도 만족한다.

만약 두 번째 주문을 상자 네 개로 포장한다면 \(25 \times 4 = 100\)개의 타일을 \(3 \times 4 = 12\)개의 묶음으로 조합한 것이고, 남은 타일 묶음이 여덟 개밖에 안 되므로 타일 \(100-5=95\)개를 조합할 수는 없다.

따라서 문제의 정답은 다음과 같다. 첫 번째 주문은 타일 70장을 7장짜리 묶음 10개로 조합하여 택배용 상자 네 개에 나누어 담았고, 두 번째 주문은 타일 75장을 7장짜리 묶음 6개와 11장짜리 묶음 3개로 조합하여 택배용 상자 3개에 나누어 담았다.

위와 같은 과정에 의하여 첫 번째 주문 타일 70장, 두 번째 주문 타일 75장 사용되었고 택배 상자는 각각 4개와 3개 사용되었다면 문제의 모든 조건을 만족시킵니다.