Published Date : 2017년 11월 7일
Author : kias
2n+d차원 실다양체 M의 복소화된 탄젠트 공간 ℂTM에 rank n의 부분다발 H가 존재하여 다음 두 가지 성질
(1) [H, H]⊂H(integrability 조건)
(2) H∩H=0
을 만족하면 H를 M의 코시-리만 구조라 부른다. 특히 d=1일 때의 코시-리만 구조를 초곡면형의 코시-리만 구조라 한다. 복소공간 속의 실 초곡면은 항상 복소공간으로부터 유도된 초곡면형
의 코시-리만 구조를 가진다.
코시-리만 기하는 20세기 초 다변수 복소함수론의 태동과 함께 시작되었다. 다변수 복소함수론의 기본적인 문제 중 하나는 주어진 두 영역이 복소동형인지를 밝히고 또 복소동형인 영역들을
가장 단순한 형태로 표현하여 여러 가지 복소 불변량들을 계산하기 용이하도록 나타내는 것이다.일변수 함수에서는 이와 같은 문제가 일어나지 않는다. 1차원 복소공간 속의 유계이고 단순 연결된 영역은 Riemann mapping에 의하여 disk와 복소동형이 된다는 것이 알려져 있기 때문이다. 그러나 2차원 이상의 복소공간에 대해서는 위와 같은 정리가 성립하지 않는다.
20세기 초 Poincaré는 2차원 복소공간 속의 ball과 bidisk가 서로 다른 복소자기동형사상군을가짐을 보였다. 복소자기동형사상군은 복소동형사상(biholomorphism)에 대하여 불변이므로 이 사실로부터 ball과 bidisk는 복소동형이 아님을 알 수 있다. 그 후 Poincaré는 두 개의 단순연결영역이 복소동형이기 위해서는 두 영역의 경계에 정의된 코시-리만 구조가 일치해야 될 것이라 추측하였는데, 이 추측은 strictly pseudoconvex domain (boundary의 모든 점에서 strictly convex domain과 국소적으로 복소동형이 되는 domain)의 경우 1970년대 C. Fefferman에 의해 증명되었다. 복소 1차원 공간 속의 곡선에는 코시-리만 구조가 없으므로 Fefferman의 결과는 Riemann mapping theorem을 다변수 복소함수론으로 확장한 것이라 할 수 있다.
복소공간 속의 실 초곡면에 정의된 코시-리만 구조의 불변량은 Levi form이 nondegenerate일 경우 2차원은 E. Cartan에 의해, 일반적인 차원은 S. S. Chern과 J. Moser에 의해 모두 밝혀졌다. Chern과 Moser는 Levi form이 nondegenerate인 실 초곡면의 normal form을 구성하여 두 실 초곡면이 코시-리만 동형인지 여부를 판별할 수 있도록 하였다. Chern-Moser의 normal form에 나타나는 코시-리만 불변량은 주어진 영역의 버그만 핵함수 등 다양한 복소 불변량을 표시하는 데 중요한 역할을 한다. 특히 strictly pseudoconvex 영역에서 Chern-Moser의 normal form을 이용한 복소자기동형사상군(biholomorphic automorphism group)에 대한 연구는 70년대에 의해 시작되어 지금까지 계속되고 있다.
degenerate Levi form을 가지는 실 다양체에 정의된 코시-리만 구조에 대한 불변량은 모두 밝혀지지 않았다. 알려진 몇 가지로는 Kohn, Bloom, Graham, D’Angelo, Catlin 등에 의해 소개된 다양한 종류의 type이 있다. 이 type들은 복소동형 여부를 밝히는 데는 불충분하지만 복소자기동형사상을 계산하는 것에서는 중요한 역할을 한다. 특히 2차원의 경우 이들 type은 모두 동일함이 알려져 있고 2차원 영역의 복소자기동형사상군의 형태를 결정한다는 것이 최근 밝혀졌다.
한편 Poincaré가 2차원 구의 복소자기동형사상 계산을 위해 썼던 방법은 Chern-Moser의 코시-리만 불변량에 대한 연구에 힘입어 S. Webster 등에 의해 일반적 차원의 구 사이에 정의된
proper holomorphic map에 대한 연구로 확장되었다. 70년대 S. Webster는 Chern-Moser에 의해 구성된 코시-리만 connection과 Cartan의 moving frame method를 도입하여 sphere 사이의 코시-리만 사상의 rigidity에 대하여 연구하였다. Huang, Ebenfelt, Zaitsev 등은 Webster의 방법을 발전시켜 sphere 사이의 코시-리만 사상을 분류할 수 있는 방법을 제공하였다.
구는 유계대칭영역의 특수한 경우이다. 유계대칭영역은 영역의 각 점마다 그 점을 유일한 고정점으로 갖는 복소자기동형사상이 있는 유계영역을 말한다. 유계대칭영역은 Riemannian
symmetric space의 복소기하적 analogy이라 할 수 있는데 리만 기하에서와 마찬가지로 여러 가지 rigidity결과가 알려져 있다.
리만 기하에서는 negative Ricci curvature를 가지는 Riemannian locally symmetric space의 rigidity가 알려져 있다(Mostow, Margulis). 이에 대응하는 복소기하에서의 결과는 유계대칭영역의 compact quotient space의 rigidity가 있다(Siu, Mok). 유계대칭영역의 quotient space 사이의 복소정칙사상은 각각의 universal cover인 유계대칭영역 사이의 proper holomorphic map으로부터 만들어진다. 이러한 관찰로부터 rigidity연구는 유계대칭영역 사이의 proper holomorphic map의 rigidity연구로 확장되어 Mok 등에 의해 계속 연구되고 있다.
유계대칭영역에 주어진 복소 정칙함수가 그 경계까지 연속적으로 확장된다면 그 함수는 Shilov 경계의 값으로 완전히 결정된다. 특히 Shilov 경계에서 선형함수이면 영역 전체에서 선형함수
이다. 그러므로 유계대칭영역 사이의 복소정칙사상의 성질을 연구하기 위해서는 Shilov 경계 사이의 코시-리만 사상의 성질을 연구하는 것이 유용한 방법이다. 따라서 구 사이의 proper
holomorphic map 연구에 대한 Poincaré와 Webster의 방법론을 유계대칭영역 사이의 proper holomorphic map에 대한 연구로 확장할 수 있는지에 대한 질문을 할 수 있다. 아쉽게도 이러한 확장은 쉽게 이루어지지 않는데 그 이유는 초곡면형 코시-리만 다양체 이외에는 Chern-Moser 불변량이 밝혀지지 않았기 때문이다.
유계대칭영역 중 type 1인 영역은 구의 일반화된 형태로 Grassmannian의 유계영역으로 매립된다. Borel 사상의 특성상 type 1 영역의 정칙자기동형사상군은 Grassmannian의 정칙자기동형사상군의 부분군이 되는데 이로부터 Grassmannian frame을 Shilov 경계에 adapt된 moving frame으로 잡을 수 있게 된다. type 1의 경우 이 frame bundle이 코시-리만 불변량을 대신할 수 있다.
복소다양체와는 달리 코시-리만 다양체는 충분히 많은 local invariant를 가지고 있다. 또한 Cartan의 moving frame method는 다양체의 모양이 구체적으로 주어진 경우에는 매우 강력한 방법이다. Chern-Moser type의 불변량을 찾는 등 아직 해결해야 할 일이 많지만 코시-리만 기하가 복소다양체 사이의 정칙사상연구에 유용한 방법을 제공할 수 있을 것이라 기대한다.