2022년 10월 25일

대수다양체의 방정식의 관계식[2]: 대수다양체의 관계식
대수기하학

대수다양체의 방정식의 관계식[2]: 대수다양체의 관계식

박진형
지난 글 ‘대수다양체를 정의하는 방정식 [1]: 대수다양체를 정의하는 방정식’에서는 복소다양체 X를 매우 풍부한 선다발 L을 통해 사영공간 Pr에 매립시키면 복소다양체가 대수다양체가 된다는 것을 설명하였다. 이 대수다양체 X를 정의하는 유한개의 동차다항식 f1,f2,…,fk가 존재하며, X와 L의 기하학적 성질과 f1,f2,…,fk의 대수적 성질 사이의 관계를 탐구하는 것은 대수기하학의 가장 근본적인 연구 주제 중 하나이다. 예를 들어 멈포드는 선다발 L이 ‘충분히’ 양적인 경우에 대수다양체 X를 정의하는 다항식의 차수가 모두 2가 된다는 것을 증명하였다. 대수다양체의 차원이 1인 대수곡선의 경우엔 선다발 L이 얼마나 양적이어야 하는지 매우 구체적으로 설명을 할 수 있고, 이를 다시 대수곡선을 정의하는 방정식의 관계식(syzygy)으로 자연스럽게 확장시킬 수 있다. 이번 글에선 대수곡선의 관계식에 대한 그린(Mark Green)의 정리를 설명하고, 이를 고차원 대수다양체로 일반화하는 결과에 대해 소개하고자 한다.
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