1월의 퍼즐에 참여해주신 모든 분들께 감사드립니다!
1월의 퍼즐에 참여해주신 분 중 정답과 함께 좋은 풀이를 보내주신 안중원님께
HORIZON에서 준비한 선물을 전달드릴 예정입니다.
부부와 아들의 띠가 모두 같다고 하였으므로, 이들의 나이는 모두 12의 배수만큼 차이가 나야 한다.
아들의 나이를 \(s\)라 하고 부부의 나이를 각각 \(s+12x\)와 \(s+12y\)라 하면, \(s^2 = 2s+12(x+y)\)가 성립해야 한다. 이 등식에서 \(s\)는 짝수이므로, \(s = 2t\)라 두고 식을 정리하면 \(t(t-1) = 3(x+y)\)가 된다.
문자 \(t\)에 자연수를 대입하여 계산해 보면,
\[\begin{align*}
&t = 3, s = 6, x+y = 2 \\
&t = 4, s = 8, x+y = 4 \\
&t = 6, s = 12, x+y = 10 \\
&t = 7, s = 14, x+y = 14 \\
&t = 9, s = 18, x+y = 24
\end{align*}\]
등등이 가능하다. 부부와 아들의 나이 차이가 너무 작거나 큰 경우를 제외하면, 아들이 8살이고 부부가 32살 동갑인 경우가 가능하다. 이때 \(x=y\)이므로, \(s = 12\)이고 \(x+y=10\)인 경우는 손주 12살, 부부 72살일 때가 되고, \(s = 14\)이고 \(x+y = 14\)인 경우는 증손주 14살, 부부 98살일 때를 뜻하여 문제의 조건에 부합한다.
만으로 나이를 세는 경우를 생각해 보면, 띠가 같더라도 나이 차이는 12의 배수보다 한 살 적거나 많을 수도 있다. 예를 들어, 부부가 같은 해에 태어났지만 한 명은 4월에 태어나고 다른 한 명은 12월에 태어났고, 문제의 상황이 6월쯤에 있었다면 부부의 나이는 한 살 차이가 된다.
또, 만으로 나이를 세지 않더라도, 엄밀히는 띠를 따지는 기준이 입춘이어서, 띠가 같은 두 사람이 서로 다른 해에 태어날 수도 있다.
이런 경우를 구해 보면, \(13^2 = 72+97 = 84+85 = 96+73\)이 가능하다. 어느 것도 아들과 부모의 나이로는 적절하지 않으므로, 부부와 아들의 나이는 여전히 32살과 8살일 수밖에 없다.
다음은 1월의 정답자로 선정된 안중원님의 해설입니다.
