[7월의 퍼즐 해설] HORIZON에서 찾은 천문학

ORION과 ION을 7로 나눈 나머지가 같으므로, 두 수의 차이인 OR\(\times 1000\)은 7의 배수가 되어야 한다. 따라서 두 자릿수 OR도 7의 배수이다.

HORIZON이 가장 큰 값을 가지는 경우로 H가 9인

\(\mathrm{9ORIZON}\)

을 생각하자. 그러면 여기서 7의 배수인 OR를 제거한 결과가 900IZON이고 9000000을 7로 나눈 나머지가 2이므로, HORIZON을 7로 나눈 나머지는

\(2+\mathrm{IZON}\)

을 7로 나눈 나머지와 같다. 이것은 IRON을 7로 나눈 나머지와도 같으므로, 두 수의 차이를 계산하면

\(2+(\mathrm{Z}-\mathrm{R})\times100\)

이 7의 배수가 되어야 한다. 100을 7로 나눈 나머지가 2이므로, 이런 일은 \(\mathrm{Z}-\mathrm{R}\)가 6이거나 \(\mathrm{R}-\mathrm{Z}\)가 \(1\)일 때 가능하다. 즉, R와 Z의 값은 다음과 같은 쌍이 가능하다. OR가 7의 배수이므로, 각각의 R에 대해 가능한 O도 함께 표시하였다.

한편 IRON에서 ION을 뺀 결과는

\((9\times\mathrm{I}+\mathrm{R})\times100\)

이고 이 값이 7의 배수가 되어야 하므로, \(2\times\mathrm{I}+\mathrm{R}\)가 7의 배수가 되어야 한다. 위의 표에 I에 해당하는 값을 덧붙이면 다음과 같다.

이제 \(\mathrm{ION}-\mathrm{IO} = 9\times\mathrm{IO}+\mathrm{N}\)이 7의 배수가 되는 경우를 생각하여 위의 표에 덧붙이면 다음과 같다. 위의 표에서 숫자가 중복되는 경우는 제외하였다.

HORIZON에서 H를 9로 두었으므로, 이 수가 가장 큰 값이 되는 것은 IO=64일 때이고, 식을 정리하면

\(\mathrm{HORIZON = 9426845}\)

가 가장 큰 값이다. 이때 다섯 개의 수를 7로 나눈 나머지는 1이다.

크기를 생각하지 않는다면 HORIZON으로 가능한 값은 다음과 같이 모두 46가지이다.

\(1283426, 1564258, 1564958, 1845083, 1845783, 1983496, \\
2351439, 2358439, 2496145, 2496845, 2913096, 2913796, 2983096, 2983796, \\
3564158, 3564851, \\
5213926, 5283926, 5913296, 5983296, \\
6145813, 6351239, 6351932, 6358239, 6358932, 6845183, \\
7213826, 7283126, 7426945, 7496245, 7913896, 7983196, \\
8145013, 8145713, 8213426, 8564251, 8564951, 8913496, \\
9213026, 9213726, 9283026, 9283726, 9351432, 9358432, 9426145, 9426845\)