[7월의 퍼즐 해설] HORIZON에서 찾은 천문학

ORION과 ION을 7로 나눈 나머지가 같으므로, 두 수의 차이인 OR$\times 1000$은 7의 배수가 되어야 한다. 따라서 두 자릿수 OR도 7의 배수이다.

HORIZON이 가장 큰 값을 가지는 경우로 H가 9인

$\mathrm{9ORIZON}$

을 생각하자. 그러면 여기서 7의 배수인 OR를 제거한 결과가 900IZON이고 9000000을 7로 나눈 나머지가 2이므로, HORIZON을 7로 나눈 나머지는

$2+\mathrm{IZON}$

을 7로 나눈 나머지와 같다. 이것은 IRON을 7로 나눈 나머지와도 같으므로, 두 수의 차이를 계산하면

$2+(\mathrm{Z}-\mathrm{R})\times100$

이 7의 배수가 되어야 한다. 100을 7로 나눈 나머지가 2이므로, 이런 일은 $\mathrm{Z}-\mathrm{R}$가 6이거나 $\mathrm{R}-\mathrm{Z}$가 $1$일 때 가능하다. 즉, R와 Z의 값은 다음과 같은 쌍이 가능하다. OR가 7의 배수이므로, 각각의 R에 대해 가능한 O도 함께 표시하였다.

한편 IRON에서 ION을 뺀 결과는

$(9\times\mathrm{I}+\mathrm{R})\times100$

이고 이 값이 7의 배수가 되어야 하므로, $2\times\mathrm{I}+\mathrm{R}$가 7의 배수가 되어야 한다. 위의 표에 I에 해당하는 값을 덧붙이면 다음과 같다.

이제 $\mathrm{ION}-\mathrm{IO} = 9\times\mathrm{IO}+\mathrm{N}$이 7의 배수가 되는 경우를 생각하여 위의 표에 덧붙이면 다음과 같다. 위의 표에서 숫자가 중복되는 경우는 제외하였다.

HORIZON에서 H를 9로 두었으므로, 이 수가 가장 큰 값이 되는 것은 IO=64일 때이고, 식을 정리하면

$\mathrm{HORIZON = 9426845}$

가 가장 큰 값이다. 이때 다섯 개의 수를 7로 나눈 나머지는 1이다.

크기를 생각하지 않는다면 HORIZON으로 가능한 값은 다음과 같이 모두 46가지이다.

$1283426, 1564258, 1564958, 1845083, 1845783, 1983496, \\ 2351439, 2358439, 2496145, 2496845, 2913096, 2913796, 2983096, 2983796, \\ 3564158, 3564851, \\ 5213926, 5283926, 5913296, 5983296, \\ 6145813, 6351239, 6351932, 6358239, 6358932, 6845183, \\ 7213826, 7283126, 7426945, 7496245, 7913896, 7983196, \\ 8145013, 8145713, 8213426, 8564251, 8564951, 8913496, \\ 9213026, 9213726, 9283026, 9283726, 9351432, 9358432, 9426145, 9426845$