9월의 퍼즐에 참여해주신 모든 분들께 감사드립니다!
9월의 퍼즐 정답자 중 추첨을 통해 최지훈님께
HORIZON에서 준비한 선물을 전달드릴 예정입니다.
고작해야 2를 넘지 못하는 작은 수들을 더하거나 곱한다고 큰 수를 만들기는 힘들지만 뺄셈을 활용하면 작은 양수를 만드는 것은 가능하다. 따라서 작은 양수를 만들어서 그 수로 나눗셈을 하는 방법으로 큰 수를 만드는 전략을 떠올릴 수 있다.
먼저, 4개의 수를 사용해서 큰 수를 만들고 싶다고 해 보자. 그러면 다음의 두 가지 형태가 가능성이 있어 보인다.
\(\frac{A}{B-CD}\) 또는 \(\frac{A}{B-C/D}\)
만약 분모가 음수가 된다면 뺄셈의 순서를 바꿔 양수로 만들면 되므로, 우리는 절댓값만 관찰하면 된다. 또한 지금은 식의 형태만 관찰하는 것이므로 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) 에 실제로 들어갈 값은 얼마든지 서로 교환할 수 있다고 전제한다. 이 점에 유의하면서 계속 생각해 보자.
\(\frac{A}{B-C/D}\) 는 보기 편하게 분자와 분모에 \(D\) 를 곱하면 \(\frac{AD}{BD-C}\) 가 되는데 이를 \(\frac{A}{B-CD}\) 와 비교해 보면 \(D\) 배 크다는 것을 알 수 있다. 문제에서는 1보다 큰 수만 다루고 있으므로 \(\frac{A}{B-C/D}\) 형태가 항상 더 좋은 전략이라고 말할 수 있다. 또한 어느 쪽이든 분모는 결국 \((B-CD)\) 형태인데 이는 \(0.01\) 단위의 수이기 때문에 아무리 작아 봐야 \(0.01\)이라는 점에 주목하자.
이제, 5번째 수인 \(E\) 를 추가해서 위 수를 더욱 크게 만들어 보자. 우리는 다음과 같은 다양한 형태들을 생각해볼 수 있다.
① \(\frac{A+E}{B-C/D}\) ② \(\frac{AE}{B-C/D}\) ③ \(\frac{A}{B+E-C/D}\) ④ \(\frac{A}{B-E-C/D}\)
⑤ \(\frac{A}{BE-C/D}\) ⑥ \(\frac{A}{B/E-C/D}\) ⑦ \(\frac{A}{B-CE/D}\) ⑧ \(\frac{A}{B-C/D/E}\) …
여기에서 ①과 ②는 분자에 새로운 수를 넣는 방법이고, 나머지는 분모에 새로운 수를 넣는 방법이다. 방금처럼 위아래에 적당한 수를 곱해서 나눗셈을 없애는 것으로 보기 편한 상태로 만들어서 관찰해 보자.
① \(\frac{AD+DE}{BD-C}\) ② \(\frac{ADE}{BD-C}\) ③ \(\frac{AD}{BD+ED-C}\) ④ \(\frac{AD}{BD-ED-C}\)
⑤ \(\frac{AD}{BDE-C}\) ⑥ \(\frac{ADE}{BD-CE}\) ⑦ \(\frac{AD}{BD-CE}\) ⑧ \(\frac{ADE}{BDE-C}\)
분모에 수 하나가 더하거나 곱해지는 정도야 주어진 수들이 고작 1에서 2 사이이므로 잘해야 두 배 정도나 커지는 것이 한계다. 하지만 분모를 \(0.01\) 단위의 수에서 \(0.001\) 단위의 수로 줄일 수 있다면 결과값이 열 배나 커질 가능성이 있으므로, 분모를 작게 만드는 것이 더 중요하다. \(0.001\) 단위의 수를 만들기 위해서는 분모에 세 개의 수가 곱해져 있어야 하므로 가능한 경우는 ⑤ \(\frac{AD}{BDE-C}\) 와 ⑧ \(\frac{ADE}{BDE-C}\) 이렇게 두 가지뿐이다. 그런데 잘 보면 ⑧ \(\frac{ADE}{BDE-C}\) 은 ⑤ \(\frac{AD}{BDE-C}\) 에 비해 E배 큰 수다. 따라서 이 많은 형태들 중 가장 결과값을 크게 만들 가능성을 가지고 있는 형태는 ⑧ \(\frac{A}{B-C/D/E}\) 임을 알 수 있다.
이제 분모인 \((BDE-C)\) 를 가장 작게 만들 수 있는 수들을 찾아야 한다. 주어진 수들 중 가장 작은 세 수를 곱해 보면 \(1.1 \times 1.3 \times 1.4=2.002\) 를 얻을 수 있다! 여기서 \(2.0\)을 빼면 \(0.002\)가 만들어지고, 분모가 \(0.002\)라면 결과값을 매우 크게 만들 수 있을 것이다. 주어진 수 중 가장 큰 수가 고작 \(2.0\)이므로 다른 세 수를 곱한다면 값이 이미 너무 커져서 분모가 \(0.002\)보다 훨씬 큰 수가 될 수밖에 없을 것이다. 즉, \(B=1.1\), \(D=1.3\), \(E=1.4\) 그리고 \(C=2.0\) 이고, 남는 자리에 \(A=1.7\) 을 넣으면 가장 큰 수를 얻을 수 있다.
따라서 답은 \(1.7/(1.1-2.0/1.3/1.4)=1547\) 이다.
