[10월의 퍼즐] 아이스크림 케이크 일도양단

진후는 충명의 생일을 축하하기 위해 베라스킨벤스에서 케이크를 구매했다. 베라스킨벤스에서 파는 큐브 케이크는 다음과 같이 27개의 정육면체 조각으로 이루어져 있다.

동규는 충명의 생일을 축하하기 위해 알테리무 쇼핑몰에서 어떤 물체든 깔끔하게 자를 수 있는 전설의 대검 엑스칼리버를 배송비 포함 12900원에 구매했다.

정휘는 충명의 생일을 축하하기 위해 티베트에서 검술을 연마해 왔다. 정휘는 대검을 정확하게 평면을 따라 내리치는 기술을 쓸 수 있다.

이들은 엑스칼리버로 평면을 따라 큐브 케이크를 한 번 내리쳐 여러 조각으로 나누고, 나누어진 조각의 개수만큼 충명의 생일 파티에 사람들을 초대하고자 한다. 충명의 생일 파티에 최대한 많은 사람들을 초대하려면 큐브 케이크를 어떻게 잘라야 할까? 그리고 그 때 큐브 케이크는 몇 조각으로 나누어질까? (구한 답이 최댓값이라는 것을 증명할 필요는 없다. 물론 증명까지 한다면 더 좋겠다.)