2018년 아벨상 수상자 로버트 랭글랜즈

1. 서문: 로버트 랭글랜즈

아벨상은 노르웨이 수학자 아벨^{Niels Henrik Abel, 1802-1829} 탄생 200주년을 기념해 2002년 제정된 상으로 수학분야의 가장 권위 있는 상 중 하나이다. 상금으로 노르웨이 돈 600만 크로네, 약 8억 원의 거금이 주어지며, 만 40세 이하만 수여 가능한 필즈상과는 달리 나이 제한이 없어 수학자가 일생 동안 쌓아온 평생의 업적을 바탕으로 상을 준다는 특징이 있다. 이 때문에 역대 아벨상 수상자 세르^{Jean-Pierre Serre}, 아티야^{Michael Atiyah}, 테이트^{John Tate}, 들리뉴^{Pierre Deligne}, 와일즈^{Andrew Wiles} 등의 업적은 모두 이견이 없을 만큼 화려한 이력을 지닌다. 2018년 아벨상은 뉴저지주 프린스턴 고등연구소^{IAS, Institute for Advanced Studies} 명예교수인 랭글랜즈^{Robert Langlands}에 수여되었다. (고등연구소는 1930년대, 미국 뉴저지 프린스턴에 설립된 순수학문연구소로 아인슈타인^{Albert Einstein}, 바일^{Hermann Weyl}, 폰 노이만^{John von Neumann}, 괴델^{Kurt Gödel} 등 유명한 석학들이 거쳐 간 세계 최고의 연구기관 중 하나이다. 현재 랭글랜즈는 아인슈타인이 머물렀던 연구실을 쓰고 있다.)

랭글랜즈는 1936년 캐나다 브리티시 콜롬비아주의 뉴웨스트민스터^{New Westminster, Greater Vancouver, Cananda}에서 1936년 태어났다. 랭글랜즈는 어린 시절 학교생활을 즐겼지만, 다른 한편으로 목공소 일을 하는 부모님을 도와주기도 하며 평범하게 지냈다. 인생의 전환점이 된 12학년 때(우리나라의 고등학교 3학년에 해당), 그는 영문학 수업을 담당했던 보글러^{Crawford Vogler}선생님을 만나게 된다. 보글러 선생님은 수업시간에 많은 학생 앞에서, 랭글랜즈가 대학교에 가지 않는 것은 신에게 주어진 재능을 버리는 것이나 마찬가지라고 말하기도 하였다. 랭글랜즈는 지속적인 선생님의 지도와 칭찬으로 생각하지 않았던 대학에 들어가게 된다. (그 당시 학생들은 대부분 대학에 진학하지 않는 분위기여서 한해에 많아야 1~2명의 뛰어난 학생들만 대학에 진학했다고 한다.) 이 시기에, 현재 부인인 샬롯^{Charlotte Langlands}을 만나게 되었다. (조각예술에 관심이 많았던 샬롯은 여러 작품을 남겼고, 특히 랭글랜즈에게 지대한 영향을 끼쳤던 프랑스 수학자 베유^{André Weil}의 흉상도 제작하였다.)

샬롯 아버지의 서재에는 다윈^Darwin, 마르크스^Marx, 프로이트^Freud 등 위대한 석학들의 책으로 가득차 있었는데 랭글랜즈는 이 책들을 읽으며 그들처럼 석학이 되기를 꿈꿨다고 한다. 16세의 나이에 랭글랜즈는 캐나다 벤쿠버에 위치한 브리티시 콜롬비아 대학^{University of British Columbia}에 진학하였고 1957년에 학사, 1958년에 석사 졸업을 하였다. 이후 예일대학교 박사과정에 입학하여 1년 차 때 박사논문 Semi-groups and representations of Lie groups을 완성하였고, 2년 차에는 랭글랜즈 프로그램의 초석이 되었던 셀버그^{Atle Selberg}의 업적을 공부하였다. 박사졸업 후 프린스턴 대학, 예일 대학 등에 연구원, 교수 등으로 머물다가 1972년에 고등연구소에 교수로 임용되어 현재까지 근무하고 있다.

랭글랜즈가 아벨상을 수상한 주된 이유로는, 자신의 이름을 딴 랭글랜즈 프로그램을 창시하고 발전시킨 역할을 꼽을 수 있다. 랭글랜즈는 1966년 크리스마스 휴가기간에 아이젠스타인 급수[본문 4장] 등을 연구하던 중 (랭글랜즈 프로그램의 메인 추측 중 하나인) ‘랭글랜즈 펑터리얼리티^{Langlands functoriality}‘ 추측에 관련된 생각을 처음 하게 된다. 그는 당시 정수론, 대수기하 분야의 석학이었던 프랑스 수학자 베유에게 자신의 아이디어를 설명하였고 베유는 랭글랜즈에게 생각을 정리해서 보내줄 것을 부탁하였다. 이에 랭글랜즈는 17 페이지에 걸쳐 손으로 쓴 편지를 쓰게 되었고 이 내용은 1960년대, 1970년대의 수많은 수학자에게 공유되었다. 이 편지에 담겨 있던 내용이 바로 랭글랜즈 프로그램^{Langlands program}이라 명명된 것으로, 현재까지도 많은 수학자가 이에 대해 연구하고 있다.

랭글랜즈 프로그램은 정수론분야에서 중요한 프로그램으로, 서로 연결되지 않을 것 같은 분야인 함수해석학(또는 표현론)과 정수론의 대응관계를 건설하는 상당히 깊고 광범위한 여러 종류의 추측을 의미한다. 다음 표는 랭글랜즈의 메인 추측을 간단히 요약해서 설명해준다.

함수해석학 사이드에서 수학적 대상은 보형형식^{automorphic forms} 또는 (국소체 또는 대역체 위에서 정의된) 리덕티브 군의 보형표현^{automorphic representations of reductive groups defined over a local field or global field}이다. 여기서 리덕티브 군의 대표적인 예제로는 일반적인 선형군(즉, 행렬식\(\not=0\)인 정사각행렬), 고전군(즉, 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각행렬) 등이 있다. 또한 여기서 군에 대한 정보를 얻기 위해 군의 표현이라는 것을 생각해볼 수 있는데, 이는 다음과 같이 정의된다. 군 \(G\), 벡터공간 \(V\)에 대해 군의 표현 \(\pi\)란 \(G\)에서 \(V\)의 일반선형군 \(GL(V)\)으로 가는 준동형사상을 말한다.
\[
\pi: G \rightarrow GL(V)
\]
즉, \(\pi(g_1 g_2) =\pi(g_1)\pi(g_2),\ \forall g_1, g_2 \in G\)를 만족한다.

정수론 사이드에서는 갈로아 군^{Galois group} 또는 갈루아 표현^{갈로아 군의 표현}이 대상이다.

리덕티브 군의 보형표현과 갈로아표현이 대응이 된다는 말은 상당히 모호한 말이다. 이에 대해 조금 더 엄밀하게 연결 관계를 설명해야 할 필요가 있는데, 각 사이드의 대상에 대응하는 \(L\)-함수가 그 역할을 한다. 즉, 랭글랜즈 프로그램에 대해서 알아보려면 다음과 같은 세 가지 질문을 살펴봐야 한다.

1. 리덕티브 군의 보형표현에 대응하는 \(L\)-함수는 존재하는가? 존재한다면 어떻게 정의되는가?
2. 갈로아 군의 표현에 대응하는 \(L\)-함수는 어떻게 정의되는가?
3. 리덕티브 군의 보형표현과 갈로아 표현이 대응된다는 것은 무슨 의미인가?

위 질문에 대한 답은 상당히 깊고 방대하며 여전히 답을 모르는 경우도 많기 때문에 이 짧은 글에서 모든 답을 다루기는 힘들다. 대신 간단한 경우에 대해서 답을 한 뒤, 위 세 질문에 답하기 위해 랭글랜즈가 주로 연구하였던 아이젠스타인 급수를 간단히 언급하려고 한다.

2. \(L\)-함수란?

우선 질문을 이해하기 위해 \(L\)-함수가 무엇인가에 대해서 잠깐 이야기를 해보자. \(L\)-함수의 일반적인 정의는 다음과 같다. 어떤 대상 \(X\)를 설명하는 데이터 \(a_1, a_2, \cdots\)에 대해 다음과 같은 디리클레 급수를 정의할 수 있다.
\begin{equation}\label{Dirichlet series}\tag{2.1} L(s, X) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, \ s \in \mathbb{C}
\end{equation}

보통 데이터 \(a_1, a_2, \cdots\)에 대해 위처럼 정의된 디리클레 급수는 중요한 정보를 가지고 있지 않기 때문에(또는 수학적으로 의미가 없기 때문에) \(L\)-함수라 정의할 필요는 없다. 그렇다면 ‘어떤 데이터를 써야 수학적으로 중요한 역할을 하는 \(L\)-함수를 정의할 수 있을까?’라는 자연스러운 질문을 하게 된다. 이에 대한 일반적인 답은 없지만 \(L\)-함수로 정의된 중요한 예제를 살펴보면 어떤 데이터가 중요한지 추측해볼 수는 있다. 정수론 수학자들이 많이 쓰는 \(L\)-함수 중 하나인 리만-제타 함수에 대해 알아보자. 리만-제타 함수는 \(Re(s) > 1\)을 만족하는 복소수 \(s\)에 대해
\[
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
\]
으로 정의된다. 이 함수는 여러가지 성질을 만족하는데 대표적인 성질은 다음과 같다.

1. 오일러 곱^{Euler product}: 리만-제타함수는 모든 소수 \(p\)에 대해 어떤 함수의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, \(\zeta(s)=\displaystyle\prod\limits_{p \ \textit{소수}} \ \big( \frac{1}{1-p^{-s}} \big)\)
2. 함수 방정식^{Functional equation}: \(\zeta(s)\)와 \(\zeta(1-s)\)에 연관이 있음을 설명해주는 식이다. 리만-제타함수의 completed \(L\)-함수 \(L(s):= \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)\)에 대해 다음과 같은 간단한 식이 성립한다. (여기서 \(\Gamma(s):=\int_0^{\infty}e^{-t}t^s dt/t, Re(s) >0\)는 \(\Gamma\)-함수이다).
   \[
   L(s)=L(1-s),
   \]
3. 유리형함수로의 확장^{Meromorphic continuation}: 정의역이 \(\mathbb{C}\)인 유리형함수로 확장이 가능하다.

그렇다면 다시 우리의 질문으로 돌아가보자. 과연 \(L\)-함수라는 것은 무엇일까? 여전히 이에 대한 일반적인 답은 없지만 디리클레 급수\eqref{Dirichlet series}에서 정의된 \(L\)-함수들은 위에서 언급한 성질(오일러 곱, 함수 방정식, 유리형함수로의 확장) 등을 만족해야 잘 정의했다고 말할 수 있다. 즉, 어떤 대상 \(X\)에 대해 (직관적으로 또는 위의 성질 중 한 가지를 이용하여) \(L\)-함수를 정의했다면 그다음 해야 할 프로젝트는 위의 성질들이 모두 성립하는지 증명하는 것이다. 

3. 랭글랜즈 프로그램의 중요한 예제: 타니야마-시무라-베유 추측

랭글랜즈 프로그램의 중요한 예제 중 하나인 타니야먀-시무라-베유 추측에 대해서 알아보자. 타니야마-시무라-베유 추측은 페르마의 마지막정리 ‘\(n\)이 \(3\)이상의 정수일 때 \(a^n+b^n=c^n\)을 만족하는 영이 아닌 정수 \(a, b, c\)는 없다.’를 따름정리로 이끌어낼 수 있어 일반인에게도 많이 알려진 추측이다. 이 추측은 와일즈와 그의 제자들에 의해 완벽히 증명되었고 이에 대한 공로로 와일즈는 2016년 아벨상을 포함해 많은 상을 받게 되었다. 타니야마-시무라-베유 추측을 한 문장으로 말하면 다음과 같다. ‘타원곡선은 모듈러 형식과 대응이 된다.’ 이 문장을 접하면 앞에서와 같이 다음의 질문을 자연스럽게 할 수 있다.

1. 타원곡선과 모듈러 형식이 무엇인가? 그리고 이에 대응하는 \(L\)-함수는 무엇인가?
2. 타원곡선과 모듈러 형식이 대응된다는 말이 무엇인가?

먼저 타원곡선에 대해서 알아보자. (유리수 위에서 정의된) 타원곡선 \(E\)는 3차 방정식 \(y^2=x^3 + ax + b (a, b\)는 유리수, \(-16(4a^3+27b^2) \not=0)\)으로 정의되는 대수 곡선으로, 첨점이나 교차점 등의 특이점이 없는 방정식이다. (여기에 군^group의 연산에 대한 항등원 역할을 하는 무한대점(\(\infty\)라 표시하자.)이라 불리는 특수점도 고려한다. 관심있는 독자는 [4]를 참고하면 좋다.) 대수학자 또는 정수론학자들이 관심을 갖는 것은 이런 방정식의 해다. 특히 타니야마-시무라-베유 추측은 타원 곡선의 \(p\)로 나눈 나머지에 대한 해의 개수와 깊은 관련이 있다. 이를 이용해 다음과 같은 상수를 정의한다.

(참고로 \(p \nmid -16(4a^3+27b^2)\)를 만족하는 소수를 좋은 소수라 부르고 \(p |16(4a^3+27b^2)\)를 만족하는 소수를 나쁜 소수라 부른다.)

이제 위에서 정의된 상수 \(a_p\)를 이용하여 타원곡선 \(E\)에 대응하는 \(L\)-함수를 정의할 수 있다.
\[
L_p(s, E)= (1-a_p(E)p^{-s} + \chi(p) p^{1-2s})^{-1}
\]
여기서 \(p\)가 좋은 소수이면 \(\chi(p)=1\), 나쁜 소수이면 \(\chi(p)=0\)이다.
이제 복소수 \(s\)에 대해 \(L\)-함수를 다음과 같이 오일러 곱으로 정의 한다.
\begin{equation}\label{L-function of elliptic curves}\tag{3.1} L(s, E) = \prod_{p \ \textit{소수}}\ L_p(s, E)
\end{equation}
또한 위 식을 전개하면 디리클레 급수 \(L(s, E)=\sum \frac{a_n(E)}{n^s}\)로 표현할 수 있다.

이제 모듈러 형식에 대해서 이야기 해보자. 모듈러 형식^{modular form}은 보형형식^{automorphic form}의 특수한 경우이며 다음과 같이 정의된다. 자연수 \(N\)에 대해 \(\Gamma_0(N):= \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb{Z}, ad-bc=1, N | c \}\)이라 하자. (가중치가 \(2k\)(\(k\)는 자연수)인 \(\Gamma_0(N)\)에 대한) 모듈러 형식은 여러가지 조건을 만족하는 상반평면 \(\{ z \in \mathbb{C} | Im (z) >0 \}\)에서 정의된 복소함수이다. 대표적인 성질은 이름(보형^保型: 모형을 보전한다)으로부터 유추할 수 있는데, 그 성질은 다음과 같다.
\begin{equation}\label{modular}
f(\gamma \cdot z) = (cz+d)^{2k} f(z),\ \forall \gamma= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N).
\end{equation}
즉, 모듈러 형식 \(f\)는 \(\gamma \cdot z\)를 대입하나, \(z\)를 대입하나 큰 변화가 없다.
여기서 \(\gamma \cdot z := \frac{az+b}{cz+d}\)은 선형분수변환^{linear fractional transformation}으로 정의된다. 특히 \(\gamma=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)\)을 대입하면 \(f(z+1)=f(z)\)라는 주기함수의 성질을 만족하게 된다. 따라서 \(f\)를 푸리에 급수(주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 표현)로 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[
f(z)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(f)q^n, \ q=e^{2\pi iz}
\]
(여기서 합이 \(n=0\)부터 시작하는 이유는 모듈러 형식의 또 다른 성질 중 하나인 첨점에서 정칙함수가 된다는 사실 때문이다.)

이 때 \(a_0(f)=0\)을 만족하는 모듈러 형식을 첨점 형식이라 한다. 이제 급수의 계수 \(a_n(f)\)를 이용하여 첨점 형식 \(f(z)\)에 대응하는 \(L\)-함수는 다음과 같이 정의된다. 복소수 \(s\)에 대해
\[
L(s, f)= \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(f) n^{-s}.
\]
이 \(L\)-함수는 \(f\)가 헤케연산자의 고유벡터일 때 오일러곱으로 표현할 수 있다는 것이 증명되어 있다.
\begin{equation}\label{L-function of modular forms}\tag{3.2} L(s, f) = \prod_{p \ \textit{소수}} (1-a_p(f)p^{-s} + \chi(p)p^{2k-1-2s})^{-1}.
\end{equation}
여기서 \(p \nmid N\)이면 \(\chi(p)=1\), \(p \ | N\)이면 \(\chi(p)=0\)을 만족한다.

이제 이 섹션 처음에 하였던 두번째 질문 ‘(2) 타원곡선이 모듈러 형식에 대응이 된다는 말이 무엇인가?’라는 질문에 답할 준비가 되었다.

4. 랭글랜즈가 연구한 아이젠스타인 급수

랭글랜즈의 가장 중요한 업적 중 하나는 일반화된 아이젠스타인 급수의 성질(유리형 함수로의 확장, 함수 방정식 등)에 대한 연구이다. 간단한 경우에 대한 연구는 셀버그에 의해 시작되었으며, 랭글랜즈는 이를 확장하여 일반적인 경우에 대한 아이젠스타인 급수의 성질을 연구하였다. 이는 보형형식, 표현론, 정수론, 산술기하에서 상당히 중요하고 유용한 도구로 쓰인다.

조금 더 자세히 이야기하면, 랭글랜즈 프로그램의 시작은 일반화된 아이젠스타인 급수의 상수항(푸리에 계수의 상수항)에 대한 계산이라 할 수 있다. 랭글랜즈는 상수항을 계산하면서 랭글랜즈 프로그램의 핵심 아이디어 중 하나인 \(L\)-군이라는 것과 관련된 새로운 종류의 \(L\)-함수(랭글랜즈 \(L\)-함수)를 정의하였다. 특히 랭글랜즈는 이 새로운 종류의 \(L\)-함수가 아이젠스타인 급수의 상수항에 나타난다는 사실을 발견하였고, 이를 근거로, 아이젠스타인 급수가 만족하는 여러 가지 성질(함수방정식, 유리형함수로의 확장 등)이 랭글랜즈 \(L\)-함수의 여러 가지 성질(함수방정식, 유리형 함수로의 확장 등)과 깊은 관련이 있다는 사실을 추측하였다. 이후 랭글랜즈는 새로 발견한 여러 종류의 \(L\)-함수가 유리형 함수로 확장된다는 사실을 증명하였다. 또한 샤히디^{Freydoon Shahidi} 를 비롯한 여러 수학자들이 소위 랭글랜즈-샤히디 방법, 랭킨-셀버그 방법 등으로 불리는 프로그램을 개발해 여러 종류의 랭글랜즈 \(L\)-함수(랭글랜즈-샤히디 \(L\)-함수, 랭킨-셀버그 \(L\)-함수 등)를 새롭게 정의하였고 이 함수의 여러성질(함수 방정식 등) 또한 증명하였다. 이는 앞에서 언급한 베유에게 보낸 손편지 17장(그리고 같은 해에 썼던 오일러 곱에 대한 노트^[3])에 이런 내용들이 담겨 있다.

다음 예제는 아이젠스타인 급수의 고전적이고 특수한 경우에 해당하지만, 위에서 언급한 랭글랜즈의 추측에 대한 메인 아이디어를 살펴볼 수 있는 좋은 예제이다. \(Re(s) > 1\)을 만족하는 복소수 \(s\)에 대해
\[
E(z, s) := \sum_{(c,d) \in \mathbb{Z}^2, \gcd(c, d)=1} \frac{y^s}{|cz+d|^{2s}},\ z=x+iy \in \mathbb{C}.
\]
로 정의된 아이젠스타인 급수는 함수방정식, 유리형함수로의 확장 등의 성질이 알려져 있다. 예를 들어 함수방정식에 대해서 이야기해보자. 위처럼 정의된 아이젠스타인 급수는 주기함수(즉, \(E(z+1,s)=E(z,s)\))의 성질을 만족하므로 다음과 같은 푸리에 급수로 전개할 수 있다.
\[
E(x+iy, s) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n(y,s) e^{2\pi inx}, \ \ a_n(y,s) = \int_0^1 E(x+yi,s) e^{-2\pi i n x} dx.
\]
특히 푸리에 계수 중 상수항인 \(a_0(y,s)\)를 계산해 보면 다음과 같다.
\begin{equation}\label{constant of FS}\tag{4.1} a_0(y,s) = \int_0^1 E(x+iy,s) dx = y^s + \frac{L(2s-1)}{L(2s)}y^{1-s}.
\end{equation}
(여기서 \(L(s)\)는 본문 2장에서 정의된 리만-제타함수의 completed \(L\)-함수이다.) 마스^Maass의 보조정리라고 불리는 정리에 의해 \(E(z,s)\)와 \(E(z,1-s)\)는 상수배 차이가 난다는 사실을 알 수 있고 상수항 계수인 \(a_0(y,s)\)와 \(a_0(y, 1-s)\)를 비교하면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다는 것을 알 수 있다.
\begin{equation}\label{Functional equation of ES}\tag{4.2} E(z,s)= \frac{L(2s-1)}{L(2s)}E(z,1-s).
\end{equation}

또한 상수항이 아닌 푸리에 계수인 \(a_n(y,s) (n \not=0)\)를 계산해 보면 다음과 같이 주어진다.
\begin{equation} \tag{4.3} a_n(y,s)= \frac{2|n|^{s-1/2}\sigma_{1-2s}(|n|)\sqrt{y}K_{s-1/2}(2\pi |n|y)}{L(2s)}, \ n \neq0.
\end{equation}

(여기서 \(K_{s}(y)=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-y(t+t^{-1})/2}t^s \frac{dt}{t}\)는 \(K\)-Bessel 함수(또는 Macdonald Bessel 함수라고도 불린다)이고 \(\sigma_{s}(n)= \sum_{d | n} d^s\)이다.)

함수방정식 \eqref{Functional equation of ES}에서 \(n=1\)때의 푸리에 계수를 비교하면 \(a_1(y,s) = \frac{L(2s-1)}{L(2s)}a_1(y,1-s)\)을 만족하고, 이를 정리하면 \(L(s)=L(1-s)\)를 얻을 수 있다. 즉, 아이젠스타인 급수의 함수방정식 \eqref{Functional equation of ES}을 이용하여 리만-제타함수의 함수방정식을 증명하였다.

이와 비슷하게 아이젠스타인 급수의 성질 중 유리형 함수로의 확장이라는 성질을 이용하여 \(L(s)\)가 유리형 함수로 확장된다는 것을 증명할 수 있다. (여기서는 푸리에 급수의 상수항 \eqref{constant of FS}에 \(L(s)\)가 나타난다는 것을 이용한다.)

5. 랭글랜즈 프로그램의 두번째 추측: 랭글랜즈 펑터리얼리티 추측

랭글랜즈 프로그램을 논할 때 빼놓을 수 없는 것이 랭글랜즈 펑터리얼리티^{Langlands functoriality} 추측이다. 이 추측은 서로 다른 두 개의 리덕티브 군 \(G_1, G_2\)의 보형 표현들 사이의 관계를 명확하게 (예를 들어 \(L\)-함수가 같음을 증명) 건설하는 것이다. 즉 랭글랜즈 프로그램의 메인 추측에서 함수해석학 사이드에서만 이야기를 하는 것이다. 랭글랜즈 펑터리얼리티는 랭글랜즈 프로그램의 메인 추측에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 군 \(G_2\)에 대한 랭글랜즈 프로그램의 메인 추측이 알려져 있다고 하자. 만약 앞에 언급한 것처럼, \(G_1\)과 \(G_2\)의 보형표현 사이의 관계에 대해서 알고 있으면, 군 \(G_1\)에 대해서도 랭글랜즈 프로그램의 메인 추측에 대해서 어느 정도 이야기 할 수 있다는 것이 랭글랜즈 펑터리얼리티의 가장 큰 응용 중 하나이다.

즉, 그림을 그려보면 아래와 같다.


랭글랜즈 펑터리얼리티 추측에서  쓰이는 대표적인 도구로는 대각공식^{Trace formula}, 랭글랜즈 샤히디 방법^{Langlands-Shahidi method}, 세타 대응^{Theta correspondence} 등이 있다. 이 중 대각공식은 랭글랜즈의 제자인 아서^{James Arthur}에 의해 많은 발전이 있었고 이를 이용하여 많은 경우에 대해 랭글랜즈 펑터리얼리티 추측이 증명되었다. (관심있는 독자는 [2]를 참고하면 좋다.) 또한 랭글랜즈-샤히디 방법과 역정리^{converse theorem}를 이용하여 중요한 경우에 랭글랜즈 펑터리얼리티 추측이 증명이 되었다.

6. 랭글랜즈 프로그램과 관련된 수학자

랭글랜즈에게 영향을 끼쳤던 수학자를 세 명만 꼽는다면 베유, 셀버그, 찬드라^{Harish-Chandra}를 들 수 있다. 특히 랭글랜즈는 셀버그와 찬드라의 업적에 대해 다음과 같이 말했다. 

또한 랭글랜즈와 인연이 있는 한국 수학자로는 리군^{Ree group}으로 유명한 이임학 교수가 있다. 랭글랜즈가 학생으로 브리티시 콜롬비아 대학에 다닐 때 이임학 교수로부터 갈로아 정리 등을 배운 것으로 알려져 있다.^[1]

랭글랜즈 프로그램은 상당히 방대하고 깊은 프로그램이어서 현재도 많은 수학자들이 연구하고 있다. 그중 몇 명만 언급해보자면 Fundamental lemma를 증명한 공헌으로 2010년 필즈상을 받은 시카고 대학의 응오^{Bao Chau Ngo} 교수가 있다. 이 보조정리는 랭글랜즈 펑터리얼리티 추측의 핵심적인 역할을 하는 정리이다.^[2] 또한 2002년에는 프랑스 IHÉS의 라포그^{Laurent Lafforgue}교수가 함수체 위에서 정의된 랭글랜즈 프로그램의 메인 추측을 증명하여 필즈상을 받았다. 또한 랭글랜즈의 아이디어를 따라가고 있는 메인 수학자로 앞에서 언급한 아서 교수, 샤히디 교수 등이 있다. 한국 수학자들도 랭글랜즈 프로그램에서 굵직한 결과들을 내고 있다. 토론토 대학 및 고등과학원에 근무하는 김형신 교수^{Henry Kim}는 랭글랜즈-샤히디 방법을 이용하여 랭글랜즈 펑터리얼리티 추측의 중요한 경우에 대해 증명하였고 버클리 대학 및 고등과학원의 신석우 교수는 trace formula를 이용하여 랭글랜즈 펑터리일리티 추측의 중요한 경우에 대해서 증명하였다.

이 글은 다음 참고문헌과 The Abel Prize Laureate 2018 홈페이지를 참고하여 작성하였다.

* 신석우 교수님이 최근 2018 봄 카오스 강연 <모든 것의 수數다>에서 (중학생 이상을 대상으로) 랭글랜즈 프로그램에 관해 대중강연을 하였습니다. 제 글이 조금 어렵게 느껴지시는 분은 신석우 교수님의 강연을 추천합니다.

** 이 글에서 사용한 사진 두 장을 글에 쓸 수 있게 허락해주신 Langlands 교수님과 Pulido 선생님께 감사의 말씀을 드립니다. (사진 두 장은 랭글랜즈 업적이 정리되어 있는 IAS 홈페이지에서 가져왔습니다.) 그리고 아벨상을 타시게 된 것을 진심으로 축하드립니다.