[9월의 퍼즐 해설] 십자수풀이

우선 가로 I 열쇠에서 세로 D는 가로 I의 제곱이면서 일의 자리가 일치해야 한다. 이렇게 되는 경우를 찾아보면,
\begin{align*}
&10^2=100,\quad 11^2=121,\quad 15^2=225,\quad 16^2=256,\quad 20^2=400, \\
&21^2=441,\quad 25^2=625,\quad 26^2=676,\quad 30^2=900,\quad 31^2=961
\end{align*}
의 열 가지가 가능하다. 그런데 가로 A와 세로 D의 열쇠에서, 가로 A는 1000에서 세로 D를 뺀 수이면서 제곱수라야 한다. 세로 D로 가능한 각 경우를 1000에서 빼 보면, 세로 D와 가로 A로 가능한 조합은
\[
(100,900),\quad (676,324),\quad (900,100)
\]
의 세 가지이다. 그러나 세로 B의 첫 자리 숫자가 0이 될 수는 없으므로, 세로 D는 676이고 세로 A는 324라야 한다. 따라서 가로 I는 26으로, 세로 B는 49로 결정된다.

가로 E의 열쇠에서 가로 I인 26의 배수 가운데 첫 자리가 9인 수를 찾아보면,
\[
26 \times 35 = 910,\quad
26 \times 36 = 936,\quad
26 \times 37 = 962,\quad
26 \times 38 = 988
\]
이고 이 가운데 세로 C와 가로 E의 일의 자리가 같은 경우는
\[
26 \times 36 = 936,\quad
26 \times 38 = 988\quad
\]
의 두 가지이다. 그런데 세로 C의 열쇠에서 제곱수가 아니라고 하였으므로, 세로 C는 38일 수밖에 없다. 따라서 가로 E는 988이고 세로 F는 81이다.

한편 세로 A 열쇠에서 3으로 시작하는 세 자리 제곱수는 324와 361뿐이므로 세로 A는 361이 되고 가로 G는 19가 된다. 또 가로 P의 열쇠에서 가로 P의 첫 자리 숫자가 1임을 알 수 있다.

이제 가로 J, 가로 K, 세로 M의 열쇠를 보면, \(81 \times \)(세로 M)을 적당히 나누어 서로 다른 두 수의 곱으로 나타낼 수 있어야 한다. 그런데, 예를 들어, 세로 M이 \(25=5^2\)라면, 가로 P가 15? 꼴이 되어 세로 I가 2로 시작할 수 없다. 이렇게 생각하면, 세로 M으로 가능한 거듭제곱수는 일의 자리가 4보다 작거나 같은
\[
32 = 2^5,\quad
64 = 2^6
\]
만 가능하다. 그리고 이때
\[
81 \times 32 = 27 \times 96 = 54 \times 48,\quad
81 \times 64 = 54 \times 96
\]
이 된다. 이 가운데 세로 I가 가로 P의 배수가 되는 경우는 가로 K가 54, 세로 M이 32일 때뿐이고, 그러면 가로 J는 48로 결정된다.

이제 세로 Q와 가로 S의 열쇠를 보면, 세로 Q를 제곱한 수의 첫 자리 숫자가 세로 Q의 일의 자리와 같아야 한다. 이렇게 되는 경우는
\[
11^2 = 121,\quad
26^2 = 676,\quad
27^2 = 729
\]
밖에 없다. 이 가운데 26과 676은 가로 I와 세로 D에서 이미 쓰였으므로 남은 경우는 \(11^2\)과 \(27^2\)의 둘이다.

만약 세로 Q가 11이라면 세로 I는 242가 된다. 그러면 가로 N이 2로 시작하는 두 자리 수이므로, 세로 H의 열쇠로부터 세로 L은 4로 시작하는 두 자리 수가 되어야 한다. 그런데 이 경우, 1로 시작하는 두 자리 수들인 세로 P와 세로 Q의 곱이 세로 L이 될 수 없다. 따라서 세로 Q는 27이 되고, 가로 S는 729이고 세로 I는 244이다. 또 가로 L은 2로 시작하는 두 자리 수임을 알 수 있다.

이제 가로 N이 41, 43, 45, 47, 49인 경우를 계산해 보면, 가로 N은 47이고 세로 O는 799이다. 그리고 가로 L과 가로 N의 곱이 세로 H가 되는 경우는 가로 L이 20이고 세로 H가 940일 때이다. 또 가로 C는 376일 때 가로 N의 배수가 된다.

한편 세로 P와 세로 Q의 곱이 세로 L이 되는 경우는 세로 P가 10이거나 11일 때뿐이다. 그런데 세로 P가 10이라면 가로 R의 첫 자리가 0이 되므로, 세로 P는 11이고 세로 L은 297이다.

마지막으로 가로 R은 7?1 꼴이면서 세로 P인 11의 배수가 되어야 하므로, 가로 R는 781이다.