[10월의 퍼즐] 수학박물관에서 생긴 일

세계에서 가장 유명한 도시 가운데 하나인 뉴욕에는 세계에서 가장 유명한 미술관 가운데 하나인 현대 미술관^{Museum of Modern Arts}, 줄여서 MoMA가 있다. 여기서 남서쪽으로 5번가를 따라 내려가면 국립수학박물관^{National Museum of Mathematics}, 줄여서 MoMath가 나온다.

몇 년 전 MoMath를 방문했을 때 있었던 일이다. (물론 뻥이다.) 뉴욕 맨하탄은 가로 세로 반듯하게 격자 모양으로 도로가 나 있어서 대부분의 도로가 삼거리나 사거리로 연결되어 있고, 몇 블록 움직였는지만 알면 위치를 파악하기가 쉬운 편이다. MoMath가 있는 블록 앞 도로를 지난 다음, 직각으로 꺾어 두 블록을 지났다. 이어서 다시 직각으로 꺾어서 세 블록, 직각으로 꺾어서 네 블록, 이런 식으로 1부터 시작한 연속한 자연수만큼 블록을 지난 다음 직각으로 꺾는 일을 반복했더니, 놀랍게도 어느 순간 다시 MoMath 앞 출발지로 돌아왔다.

물론 모든 도로가 완벽하게 직각으로 연결된 것도 아니고 블록의 크기가 모두 같지도 않으므로 실제 움직임은 약간 다르지만, 이 상황을 조금 단순화하면 다음과 같은 수학 퍼즐로 바꿀 수 있겠다.

길이가 \(1, 2, 3, \dots, n\)인 선분을 직각을 이루도록 차례대로 연결하였더니 첫 번째 선분과 마지막 선분이 직각을 이루며 이어졌다. 이런 일이 가능한 가장 작은 \(n\)의 값은 얼마인가?