[1월의 퍼즐 해설] 유일해 스도쿠

그러면 노란색 상자를 채우는 방법은 다음과 같이 두 가지가 있다.

이제 이 스도쿠의 어딘가에 숫자를 딱 하나만 더 써넣을 것이라고 생각해 보자.

이2 × 2 상자는 어떻게 채워 넣든 노란색 2 × 2 상자 외부에서 보았을 때 행 열 구역 무엇을 봐도 구별 불가능하다. 따라서 외부에서 어떤 정보를 더 주더라도 최소한 두 가지의 해가 나온다 물론 상자 내부에 5 나 6 을 하나 써넣으면 상자 내부는 한 가지 로 결정 되겠지만 우리가 풀려는 스도쿠 는 상자 외부에도 5 나 6 이 없기 때문에 이제는 상자의 외부에서 5 와 6 을 구별하지 못하는 문제가 생 긴다 결국 이 경우에는 숫자를 어디에 하나 더 써넣든 유일해가 나올 수는 없다는 것이다 위와 같은 상황을 (5, 6) 페어 라고 부르자.

비슷한 경우로, 다음 경우를 보자.

이 초록색 상자를 채우는 방법 역시 2가지가 가능하다.

페어와 마찬가지로 이 경우 역시 초록색 3 × 2 상자 외부에서 보았을 때 두 경우를 구별할 수 없으며 따라서 어떤 정보를 더 주더라도 최소한 두 가지의 해가 나온다 이 경우에도 상자 내부에 숫자를 하나 써넣는 것으로 해를 한 가지로 단정지을 수 있지만 마찬가지로 상자의 외부에서 5 와 6 을 구별하지 못하 게 되어 유일해 가 나올 수 없다. 위와 같은 상황을 (4, 5, 6) 트리플 이라고 부르자.

이제 우리는 주어진 숫자만 활용해서 스도쿠의 가능한 모든 경우의 수를 들여다볼 것이다. 먼저 일반적인 스도쿠의 풀이방식처럼 최대한 숫자들을 채우면 다음과 같아진다. 여기까지는 어렵지 않을 것이다.

그리고 다음과 같이 모르는 부분에 A 와 B 를 써넣자. A 와 B 중 하나는 5 고 하나는 6 이겠지만 아직은 어느 알파벳이 어느 숫자가 될지 알 수 없다.

이제 4 번째 세로줄을 유심히 보면 2 가 들어갈 수 있는 위치가 2 곳밖에 없음을 알 수 있다.

Case (1) 은 스도쿠 정중앙의 2 × 2 상자에 앞에서 본 페어가 생기므로, 절대 유일해가 되지 않는다.

이 상자는 어차피 채울 수 없으니 그대로 놔두고, 나머지 부분을 채울 수 있는 만큼 최대한 채우면 다음과 같아진다.

앞에서 본 트리플이 생겼다. (1,3,A) 트리플이다. 이 이상은 풀 수 없으므로 Case (2) 를 보자.

Case (2) 는 지금 숫자를 하나도 더 채워 넣을 수 없는 상태다. 따라서 3 번째 세로줄에 순서대로 A, B 가 들어가는지 B, A 가 들어가는지로 경우를 나눠 보자.

Case (2 -1) 은 그대로 나머지를 쭉 채우면 Case (1) 과 똑같이 (1, 3, A) 트리플을 남기고 풀이가 종료된다.

이제 Case (2- 2)를 볼 차례인데 이 상태로는 숫자를 더 채울 수 없다. 2번째 세로줄에 순서대로 2, B 가 들어가는지 B , 2 가 들어가는지로 경우의 수를 나눠 보자.

각각의 경우를 풀어 보면 모두 끝까지 풀린다.

이제 거의 다 왔다. 우리는 주어진 스도쿠의 가능한 모든 완성된 모습을 구했다. 아무 정보도 더 주어지지 않았다면 이것들이 모두 해로 성립 했 겠지만 충명은 여기에 숫자 를 하나 더 써넣어서 이들 중 단 하나만 해로 성립하게 만들었다.

충명은 원래 스도쿠의 빈칸 중 하나에 5나 6을 써넣 었을 것이다. 그러면 방금 구한 4 가지 중 해당 위치 에 A 나 B가 아 니라 1, 2, 3, 4 중 하나가 써 있는 경우는 충명이 완성한 스도쿠 의 모습이 아닐 것이므로 지울 수 있다. 그렇게 해서 딱 1 가지의 경우만 남 는다면 스도쿠가 유일해가 되었다는 뜻이 고 충명은 바로 그곳에 5 나 6 을 써넣었을 것이다.

추가로, 만약 노란색 상자 위치에 5 나 6 을 써넣으면 Case (1) 이 남아 반드시 2 가지 이상의 해가 나오므로 답이 될 수 없고, 초록색 상자 위치에 5 나 6 을 써넣으면 Case (1) 과 Case (2-1) 가 남아 반드시 각각 2 가지 씩 총 4 가지 이상의 해가 나오므로 답이 될 수 없다. 따라서 이곳을 제외한 나머지 칸만 관찰하면 된다.

이제 위 네 경우 중 나머지는 모두 숫자가 써 있는데 단 하나에만 알파벳이 써 있는 위치를 찾아보면 한 군데밖에 없다! 바로 3 행 5 열 이다. 그리고 해는 Case (2-2-1) 이다. 이곳에 5를 썼다고 가정하면 정답은 다음과 같다.