[7월의 퍼즐 해설] 대답할 수 없게 하는 질문

본 문제는 스멀리언의 저서 ‘Satan, Cantor & Infinity’의 1.7절 ’The Island of Partial Silence’에 2.9절 ‘The Planet Og’를 덧붙여 조금 더 어렵게 확장한 것이다.

본 문제는 기사-건달의 경우보다 복잡한 것 같지만 종족과 거주지를 모두 무시하는 질문이므로 실질적으로는 참과 거짓만 말하는 사람들이 모인 기사-건달 퍼즐과 경우가 같다. 즉, 종족이나 거주지를 굳이 언급하지 않아도 원하는 질문을 만들 수 있다.

소기의 목적을 달성할 수 있는 질문은 다음과 같다.

“‘당신이 진실로 이 질문에 「아니요」라고 답할 것’과 ‘당신이 거짓으로 이 질문에 「예」라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?”

답변자가 참말을 한다고 가정하자. 전체 질문에 참으로 답해야 하는데 후자인 ‘당신이 거짓으로 이 질문에 「예」라고 답할 것’이 항상 거짓이 되므로 전자인 ‘당신이 진실로 이 질문에 「아니요」라고 답할 것’이 참이어야 한다. 이미 참말을 한다고 가정했으므로 ‘이 질문에 「아니요」라고 답할 것’의 참-거짓만 판단하면 된다. 그런데 ‘예’든 ‘아니요’든 모든 답이 질문에 거짓이 되기 때문에 답변자는 어떤 답도 할 수 없다.

이번에는 답변자가 거짓말을 한다고 가정하자. 전체 질문에 거짓으로 답해야 하는데 전자인 ‘당신이 진실로 이 질문에 「아니요」라고 답할 것’은 항상 거짓이 되므로 후자인 ‘당신이 거짓으로 이 질문에 「예」라고 답할 것’만 거짓이 되면 된다. 이미 거짓말을 한다고 가정했으므로 ‘이 질문에 「예」라고 답할 것’에 대한 참-거짓만 판단하면 된다. 그런데 ‘예’든 ‘아니요’든 모든 답이 질문에 진실이 되기 때문에 답변자는 어떤 답도 할 수 없다.

보너스 문제 해설

보너스 문제는 종족과 거주지를 고려해야 하므로 전과 달리 더 복잡해지는 것이 맞다.각 경우 다음과 같은 질문들이 답이 될 수 있다.

1) ‘당신이 펭귄족이고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 곰족이고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?

2) ‘당신이 남극대륙에 살고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 북극 대륙에 살고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?

두 문장은 모두 아래와 같은 틀에 기초하고 있다.

‘당신이 X이고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 X가 아니고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까? …(*)

이제 이 외계인이 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있는지 생각해보자.

a) 외계인이 (*)에 예라고 한 경우
a-1) 먼저 외계인이 진실을 말하는 타입이라 하자. 그러면 (*) 속 두 질문 중 최소 하나가 참이어야 한다. 그런데 외계인은 이미 예라고 답했으므로 ‘당신이 X가 아니고 이 질문에 아니라고 답할 것’은 참이 될 수 없다. 따라서 ‘당신이 X이고 이 질문에 예라고 답할 것’이 참이 되어야 한다. ‘그리고’의 원리에 의해 그 외계인은 X이다. 외계인은 진실을 말하므로 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다.

a-2) 다음 외계인이 거짓을 말하는 타입이라 하자. 그러면 (*) 속 두 질문 모두 거짓이 되어야 한다. 특히, 예라고 답했음에도 불구하고 ‘당신이 X이고 이 질문에 예라고 답할 것’이 거짓이 되어야하기 때문에 ‘그리고’의 원리에 의해 그 외계인은 X가 아니다. 외계인은 거짓을 말하므로 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다.

b) 외계인이 (*)에 아니라고 한 경우
b-1) 먼저 외계인이 진실을 말하는 타입이라 하자. 그러면 (*) 속 두 질문 모두 거짓이 되어야한다. 특히, 아니라고 답했음에도 불구하고 ‘당신이 X가 아니고 이 질문에 아니라고 답할 것’이 거짓이 되어야 하므로 ‘그리고’의 원리에 의해 그 외계인은 X이다. 외계인은 진실을 말하므로 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다.

b-2) 다음 외계인이 거짓을 말하는 타입이라 하자. 그러면 (*) 속 두 질문 중 최소 하나가 참이어야 한다. 그런데 외계인은 이미 아니라고 답했으므로 ‘당신이 X이고 이 질문에 예라고 답할 것’은 참이 될 수 없다. 따라서 ‘당신이 X가 아니고 이 질문에 아니라고 답할 것’이 참이 되어야 한다. ‘그리고’의 원리에 의해 그 외계인은 X가 아니다. 외계인은 거짓을 말하므로 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다. 종합하면, 외계인이 (*)에 예든 아니든 답을 한 경우에 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다.

또한 ‘나는 X이다’라고 말한 외계인이 있었을 때 그가 어떤 경우든 (*)에 답할 수 있음도 비슷한 논증을 거쳐 쉽게 보일 수 있다.

이상의 설명으로 우리는 어떤 외계인이 (*)에 (예든 아니든) 답을 했을 경우, 그리고 오직 그 경우에 한해 ‘나는 X이다’라고 말할 수 있다는 것을 알았다. 거꾸로 얘기해, 어떤 외계인이 ‘나는 X이다’라고 말할 수 없다는 것과 그가 (*)에 어떤 답도 할 수 없다는 것이 동치이다. 따라서 X를 잘 선택하면 어떤 조건의 문제든 해결할 수 있다.

1) ‘나는 펭귄족이다.’는 오직 남극대륙에 거주하는 외계인만이 말할 수 있다. 따라서 “‘당신이 펭귄족이고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 곰족이고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?”라는 질문에는 오직 남극대륙 거주 외계인만이 답할 수 있다.

2) ‘나는 남극대륙 거주자이다.’는 오직 펭귄족 외계인만이 말할 수 있다. 따라서 “‘당신이 남극대륙에 살고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 북극 대륙에 살고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?”라는 질문에는 오직 펭귄족 외계인만이 답할 수 있다.

이 원리를 쓰면 본 문제의 답도 여러 개 구할 수 있게 된다. 이를테면 ‘나는 출신지에 살고 있지 않다’는 그 어떤 외계인도 말할 수 없다. 따라서 “‘당신이 출신지에 살지 않고 이 질문에 예라고 답할 것’과 ‘당신이 출신지에 살고 이 질문에 아니라고 답할 것’ 중 최소 하나가 참입니까?”라는 질문에는 어떤 외계인도 답할 수 없다.

이 이외에도 KPP의 이충명 님의 답도 소개한다.

본 문제의 답

당신이 이 질문에 거짓으로 답할 것과 당신이 이 질문에 예라고 대답할 것이 동치입니까?

보너스 문제의 답

1) 당신이 남극대륙 거주지인 것과 당신이 이 질문에 진실로 답할 것과 동치라는 것이 당신이 이 질문에 예라고 대답하는 것과 동치입니까?

2) 당진이 펭귄족인 것과 당신이 이 질문에 진실로 답할 것과 동치라는 것이 이 질문에 예라고 대답하는 것과 동치입니까?