[2월의 퍼즐] 2018년을 보내며

지난 달에는 23으로 2019를 만드는 문제를 다루었다. 이번 달에는 2018과 관련된 문제를 생각해 보자. 두 자연수 \(m\)과 \(n\)을 생각하자. \(m\)을 \(m\)번 곱하고 \(n\)을 \(n\)번 곱한 두 값을 다시 곱했더니, 마지막 2018 자리가 모두 0이 되는 경우가 가능할까? 즉, \(m^m n^n\)을 계산한 결과가 2018개의 0으로 끝나는 것이 가능하겠느냐는 것이다.

물론 \(m=1000\), \(n=1\)로 잡으면 \(m^m n^n = 1000^{1000} = 10^{3000}\)이 되니 마지막 2018 자리가 0이 되기는 하지만, 이러 경우는 너무 뻔하니 마지막 2018 자리는 0이고, 끝에서 2019번째 자리는 0이 아닌 경우를 찾아보자. 이렇게 찾은 수에 다른 수를 곱해도 조건을 충족하게 할 수도 있으니, \(m\)과 \(n\)의 곱이 가장 작은 경우를 정답으로 하자.

보너스 문제: 마지막 2019 자리가 모두 0이 되는 경우로 같은 문제를 풀면 어떻게 될까?