니코마쿠스 등식, 그리고 그 이상

니코마쿠스 등식

대부분의 고등학교 수학교과서에서는 세제곱의 합에 대한 아래의 등식 (1) 을 수학적 귀납법을 연습하는 예제로 제시합니다:
\begin{equation}
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\Bigl(\frac {n(n+1)}2\Bigr)^2.
\label{su}
\end{equation}

(1) 

한편, 이 등식은 수학적 귀납법뿐 아니라 조합론적/기하학적 방법 등을 포함하여 다양한 방식으로 증명될 수 있습니다. 등식 (1) 의 우변에 있는
$$
T_n:=\frac {n(n+1)}2 = 1+2+3+\cdots+n
$$
은 $n$번째 삼각수^{triangular number}라 불리는데, 그 이유는 아래의 그림처럼 첫 번째 줄에 $1$개, 두 번째 줄에 $2$개, 세 번째 줄에 $3$개, $\ldots$\,\,, $n$번째 줄에 $n$개의 점을 배열하면 정삼각형 모양이 되기 때문입니다. 이때 전체 점의 개수가 $n$번째 삼각수입니다. 예를 들어, 다섯 번째 삼각수는

$T_5 = 1+2+3+4+5 = 15;$

입니다. 고대 그리스 수학자 니코마쿠스^{Nicomachus, 약  60년$\sim$약  120년}는 그의 저서 산술 입문에서 등식 (1) 과 관련된 내용을 다루었습니다. 이러한 이유로 등식 (1) 을 니코마쿠스 등식^{Nicomachus’ identity}이라고 부릅니다. 편의상 니코마쿠스 등식 (1) 을
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^3=T_n^2
\label{su1}
\end{equation}

(2)

으로 다시 쓰겠습니다.

니코마쿠스 등식을 확장하는 한 가지 방법은 (2) 의 좌변에 있는 $k$의 세제곱 대신 임의의 거듭제곱을 고려하는 것으로, 이는 특히 요한 파울하버^{Johann Faulhaber}에 의해 $17$세기 초에 크게 발전하였습니다 [8]. 이 글에서는 (2) 의 좌변에서 $k$의 세제곱이라는 특징을 유지하는 확장된 등식 또는 (2) 의 새로운 변형들을 살펴보고자 합니다.

리우빌의 등식

(2) 의 가장 잘 알려진 변형 중 하나는 리우빌^Liouville의 등식
\begin{equation}
\sum_{d\vert n} \tau(d)^3=\Bigl( \sum_{d\vert n} \tau(d)\Bigr)^2
\label{liovo}
\end{equation}

(3)

입니다. 여기서 기호 $\sum_{d\vert n}$는 “$n$의 모든 양의 약수 $d$에 대해 합을 취한다”는 의미이고, $\tau(d)$는 $d$의 양의 약수의 개수를 나타냅니다. 예를 들어, $10$의 양의 약수는 $1$, $2$, $5$, $10$, 총 $4$개이므로 $\tau(10)=4$이고, 소수 $p$에 대해 $p^k$의 모든 양의 약수는 $1$, $p$, $p^2$, $\ldots$\,\,, $p^k$이므로 $\tau(p^k)=k+1$입니다. 따라서, 등식 (3) 에서 양의 정수 $n$이 소수의 거듭제곱^{prime power} 꼴 $p^n$일 때, 좌변과 우변은 각각

$$
\sum_{d\vert p^n} \tau(d)^3 =\tau(1)^3 + \tau(p)^3 +\tau(p^2)^3+\cdots+\tau(p^n)^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3,
$$
$$
\Bigl( \sum_{d\vert p^n} \tau(d)\Bigr)^2=\bigl(\tau(1) + \tau(p) +\tau(p^2)+\cdots+\tau(p^n)\bigr)^2=(1+2+3+\cdots+n+(n+1))^2
$$
이 되어 등식 (3) 은 니코마쿠스 등식 (2) 가 됨을 알 수 있습니다. 등식 (3) 의 증명에 관심이 있는 독자분들은 [1] 의 명제 1^{Proposition 1}을 참고하시기 바랍니다.

바르나르의 $q$-유사, 그리고 패턴

$q$-유사^$q$-analogue란 기존의 수학적 개념을 하나의 매개변수 $q$를 이용해 `변형(일반화)‘한 것을 말하며, $q \rightarrow 1$일 때 원래의 개념으로 돌아가는 것이 특징입니다. 예를 들어, 양의 정수 $n$에 대해
\begin{equation}
n_q=\frac {1-q^n}{1-q}
\label{nq12}
\end{equation}

(4)

이라 두면,
$$
\lim_{q \rightarrow 1}n_q = \lim_{q \rightarrow 1} (1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})=n
$$
이므로 $n_q$는 $n$의 $q$-유사입니다. 음이 아닌 정수 $n$, $k$와 $q\neq 1$에 대해 가우스 이항 계수^{Gaussian binomial coefficient}는 기호 (4) 를 사용하면, 다음과 같이 정의됩니다:
$$
{n \brack k}_q
= \frac{n_q (n-1)_q\cdots (n-k+1)_q}
{1_q\, 2_q \cdots k_q},
$$
여기서 $k>n$이면 가우스 이항 계수를 $0$으로, $k=0$이면 $1$로 정의합니다. 또한 이항계수^{binomial coefficient}
\[
\binom nk =
\begin{cases}
\frac {n!}{k!(n-k)!}, & 0\leq k \leq n, \\
0, & k>n
\end{cases}
\]
에 대해
$$
\lim_{q\rightarrow 1}{n \brack k}_q= \binom nk
$$
이므로, 가우스 이항 계수는 이항계수의 $q$-유사입니다.

삼각수는 다음을 만족합니다:
\begin{equation}
T_{n}^2-T_{n-1}^2=(T_n+T_{n-1})(T_n-T_{n-1})=(n^2)(n).
\label{diff1}
\end{equation}

(5)

양의 정수 $1, 2, \ldots, n$에 대해 위 식을 각각 나열하면
\begin{align*}
T_{2}^2-T_{1}^2&=(2^2)(2)\\
T_{3}^2-T_{2}^2&=(3^2)(3)\\
& \,\,\,\, \vdots \\
T_{n}^2-T_{n-1}^2&=(n^2)(n)\\
\end{align*}
이 됩니다. 이제 좌변의 모든 항과 우변의 모든 항을 각각 더하면, 좌변에서는 $T_2^2, T_3^2, \ldots, T_{n-1}^2$이 소거되어
\begin{equation}
T_n^2=T_1^2+\sum_{k=2}^n k^3=\sum_{k=1}^n k^3,
\label{tn2}
\end{equation}
즉 니코마쿠스 등식 (2) 가 됩니다. 여기서 (5) 의 우변을 보면, 니코마쿠스 등식 (6) 의 우변 각 항 $k^3$을
\begin{equation}
k^2 \cdot k
\label{iiu8}
\end{equation}

(7)

로 보는 것은 자연스럽습니다.

양의 정수 $n$에 대해 가우스 이항계수
$$
{n+1 \brack 2}_q=\frac {n_q (n+1)_q}{1+q}
$$
는 삼각수 $T_n$의 $q$-유사이며, 이를 이용하면
\begin{equation}
{n+1 \brack 2}_q^2-q^2 {n \brack 2}_q^2=\bigl(n_q\bigr)^2 n_{q^2}
\label{hhy9}
\end{equation}

(8)

임을 보일 수 있습니다. 식 (8) 의 좌변은 $T_n^2-T_{n-1}^2$의 $q$-유사이며, (8) 은 ${n \brack 2}_q^2$에 대한 단순한 점화식입니다. 이러한 구조는 (5) 의 경우와 본질적으로 동일하며, (6)처럼 다음을 얻을 수 있습니다 [9]:
\begin{equation}
{n+1 \brack 2}_q^2=\sum_{k=1}^n q^{2n-2k}\Bigl(\frac {1-q^k}{1-q}\Bigr)^2 \frac {1-q^{2k}}{1-q^2}.
\label{Wa}
\end{equation}

(9)

이는 니코마쿠스 등식 (2)의 $q$-유사이며, 바르나르^Warnaar가 얻은 결과로서 등식 (3)과 더불어 또 다른 등식 (2)의 우아한 변형입니다. 등식 (9)는 (8)과 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있습니다. 여기서 $q\rightarrow 1$일 때, (9)의 우변의 각 항은
\begin{equation}
1\cdot k^2 \cdot k
\label{tn20}
\end{equation}

(10)

로 수렴합니다. 한편, (9)보다 앞서 알려진 (2)의 $q$-유사로는 가렛^Garrett과 험멜^Hummel의 결과가 있습니다 [3].

[2] 에는 니코마쿠스 등식 (2)의 또 다른 일반화
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \frac 1{r+2} (2k+r)\Bigl( \begin{array}{c}
k+r\\
r+1 \\ \end{array}
\Bigr)^2=\Bigl(\frac n{r+2} \Bigl( \begin{array}{c}
n+1+r\\
r+1 \\ \end{array}
\Bigr)\Bigr)^2
\label{genfp}
\end{equation}

(11)

이 제시되어 있습니다. $r=0$일 때 (11)은 니코마쿠스 등식 (2)가 됩니다. 또한 좌변 각 항에서
$$
\frac 12 \cdot 2k \cdot k^2
$$
이라는 패턴이 나타나는데, 이는 (7) 및 (10)과 본질적으로 동일합니다.

니코마쿠스 등식의 연속적인 유사

연속적인 유사^{continuous analogue}란 이산적^discrete 구조를 연속적인 영역으로 일반화하거나 대응시키는 개념을 말합니다. 따라서 니코마쿠스 등식 (2) 의 연속적인 유사로서
\begin{equation}
\int_0^y x^3 \, dx=\Bigl(\int_0^y x\, dx\Bigr)^2
\label{eqsec1}
\end{equation}

(12)

을 생각할 수 있습니다. 이 절에서는 등식 (12)를 일반화한 적분에 대한 등식 (16)을 소개하겠습니다 [7].

윌리엄 로웰 퍼트넘 수학 경시대회^{William Lowell Putnam Mathematical Competition}는 미국과 캐나다에 재학 중인 대학생을 대상으로 매년 열리는 유명한 수학 경시대회입니다. 제 $34$회 대회는 $1973$년에 개최되었으며, 다음 문제가 번호 $B4$로 출제 되었습니다:

“닫힌구간 $[0,1]$ 위에서 정의된 함수 $f$가 $f(0)=0$이며, 도함수 $f’$은 연속이고 $0<f'(x)\leq 1$이라고 가정하자. 부등식
$$
\Bigl(\int_0^1 f(x)\, dx\Bigr)^2 \geq \int_0^1 f(x)^3\, dx
$$
을 보이고, 등호가 성립하는 예를 구하시오.”

이 문제에서 적분의 상한이 $1$인 것은 특별한 의미가 없습니다. 실제로
\begin{equation*}
g(y) = \left( \int_0^y f(x)\,dx \right)^2 – \int_0^y f(x)^3\,dx
\label{aa1}
\end{equation*}
라 두면, \( g(0) = 0 \)이고
\begin{equation}
g'(y) = 2 f(y)\int_0^y f(x)\,dx – f(y)^3
\label{aa2}
\end{equation}

(13)

입니다. \( f(0)=0 \)이고 도함수가 음이 아니므로 \( f(y)\ge 0 \)입니다. 따라서
\begin{equation}
2\int_0^y f(x)\,dx – f(y)^2 \ge 0
\label{aa25}
\end{equation}

(14)

임을 보이면 충분합니다. \( y = 0 \)에서 등호가 성립하므로, 이를 다시 미분하면
\begin{equation}
\frac{d}{dy}\Big(2\int_0^y f(x)\,dx – f(y)^2\Big)
= 2 f(y) – 2 f(y) f'(y)
\label{aa3}
\end{equation}

(15)

를 얻습니다. 여기서 \( f(y) \ge 0 \), \( f'(y) \le 1 \)이므로 이 표현은 음이 아니어 부등식 (14)가 성립함을 알 수 있습니다. 한편 $f(x)=x$일 때 등호가 성립함은 쉽게 확인할 수 있습니다.

등식 (15), (13)에 의해
\begin{align*}
&2\int_0^y \int_0^\alpha f(\alpha) f(t)(1-f'(t)) dt \,d\alpha\\
=&2\int_0^y f(\alpha)\Bigl(\int_0^\alpha f(t)(1-f'(t)) dt \Bigr) d\alpha\\
=&\int_0^y f(\alpha)\Bigl(\int_0^\alpha \frac d{dt}\Bigl[ 2 \int_0^t f(x) dx-f(t)^2\Bigr]dt\Bigr)d\alpha\\
=&\int_0^y f(\alpha)\Bigl( 2 \int_0^\alpha f(x) dx-f(\alpha)^2\Bigr)d\alpha\\
=&\int_0^y g'(\alpha)d\alpha\\
=&g(y)
\end{align*}
이므로, 적분에 대한 등식
\begin{equation}
\left( \int_0^y f(x)\,dx \right)^2 – \int_0^y f(x)^3\,dx
= 2\int_0^y \int_0^\alpha f(\alpha) f(t)(1-f'(t)) dt \,d\alpha
\label{ggt5}
\end{equation}

(16)

을 얻게 됩니다. 니코마쿠스 등식 (2)의 연속적인 유사
\begin{equation*}
\int_0^y x^3 \, dx=\Bigl(\int_0^y x\, dx\Bigr)^2
\end{equation*}
는 등식 (16)에서 $f(x)=x$인 경우입니다.

극한으로서 “$\sqrt{11}$” 등식

문헌을 살펴보면, $(a, b, c, d, e, f)$의 전부 또는 대부분이 $0$이 아닌 경우
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \bigl(a+bk+ck^2\bigr) \bigl(d+ek+fk^2\bigr)
\label{gga122}
\end{equation}

(17)

형태의 합에 대한 간단한 표현은 알려져 있지 않은 것으로 보입니다. $a=c=d=e=0$이고 $b=f=1$일 때, (17)은 니코마쿠스 등식 (2)가 되지만, 이를
\begin{equation}
\Bigl(\sum_{k=0}^{n-1} ( 1+k )^3 =\Bigr) \sum_{k=0}^{n-1} ( 1+k ) ( 1 + 2 k + k ^ 2 )=\Bigl(\sum_{k=0}^{n-1} ( 1+k )\Bigr)^2
\label{gga123}
\end{equation}

(18)

와 같이 다시 쓰면, 등식 (18)의 좌변을 (17)의 관점에서 보았을 때 $c$만 $0$인 경우임을 알 수 있습니다. 한편, 등식 (18)은
$$
\sum_{k=0}^{n-1} ( 1+a k ) ( 1 + 2 k + a k ^ 2 ) =\Bigl(\sum_{k=0}^{n-1} ( 1+ak )\Bigr)^2
$$
으로 일반화 되며, 이 등식에서 $a=0$이면 연속된 홀수의 합이 완전제곱수가 됨을 관찰할 수 있습니다.

이 절에서는 먼저 니코마쿠스 등식 (2) 의 우변에 있는 삼각수의 제곱에 주목하여 (17) 형태의 합에 대한 새로운 등식 (19)를 아래의 정리 1에서 소개하고자 합니다 [4].

정리 1.

\begin{equation*}
(a, b, c)=\Bigl(1, \,\frac {-1+\sqrt{11}}2, \, \frac {-1-\sqrt{11}}2 \Bigr), \quad (d,e,f)=(-a,-c,-b)
\end{equation*}

라 두면,
\begin{equation}
\frac 1{2n+3} \sum_{k=1}^n \bigl(a+bk+ck^2\bigr)\bigl(d+ek+fk^2\bigr)=T_{n-1}^2.
\label{2m35}
\end{equation}

(19)

등식 (19)는 임의의 $n$에 대해 좌변과 우변을 각각 계산하여 서로 같음을 확인할 수 있습니다. 좌변을 위해서는 $\sum_{k=1}^n k^u$ ($1\leq u \leq 4$)의 공식이 필요한데, 예를 들면

$$
\sum_{k=1}^n k^4=\frac {(n+1)n(n+1/2)(3n^2+3n-1)}{15}
$$
등이 있습니다.

등식 (19)는 새로운 것이며, 증명은 단순하지만 발견된 후에야 그 존재가 드러나는 수학 연구의 통찰을 잘 보여주는 예라고 생각합니다. 특히 (19)의 우변이 삼각수의 제곱이라는 점에서 이 등식은 니코마쿠스 등식 (2)와 매우 가깝고, 여기서 $\sqrt{11}$이 등장한다는 점은 매우 흥미롭습니다.

이 절의 뒷 부분에 있는 정리 2에서는 $\sqrt{11}$의 연분수 전개^{continued fraction expansion}의 수렴분수^convergent가 나타나는 자명하지 않은 등식 (22)를 얻어, 등식 (19)가 등식 (22)의 극한적 경우^{limiting case}임을 보이고자 합니다. 이를 위해 먼저 연분수에 대한 개념을 간략히 소개하겠습니다. 실수 $x$가 다음과 같은 연분수 전개
\[
x = [a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]
= a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \ddots}}.
\]
를 가질 때, 이 연분수의 유한 부분을 잘라낸
$$
[a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n]= a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_n}}}}
$$
을 $n$번째 수렴분수라고 부릅니다. 또한,
\[
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}
\]
처럼 $(1,2)$패턴이 무한히 반복될 때는
\[
\sqrt{3} = [1; \overline{1,2}]
\]
와 같이 씁니다.

$(-1+\sqrt {11})/2$의 연분수 전개는
$$
[1; \overline{6, 3}]
$$
이며, 이 연분수의 한 수렴분수
\begin{equation*}
\alpha_j:=[1; \underbrace{6,3,6,3,\ldots, 6,3}_{2j-2 \,\,\text{개}}]
\end{equation*}
를 계산하면
\begin{equation}
\alpha_j=\frac 12 \Bigl( -1+\sqrt{11-\frac {10}{3 + 2 u_j}}\Bigr)
\label{uj2}
\end{equation}

(20)

임을 알 수 있습니다. 여기서 $u_j$는 멱급수 전개
\begin{equation}
\frac {1 + 502 x + x ^ 2 }{( 1 – x ) ( 1 – 398 x + x ^ 2 )}=1 + 901 x + 359101 x^2 + 142921801 x^3 + \cdots
\nonumber
\end{equation}
에서 $x^{j-1}$의 계수이며, 실제로 $u_j$의 정확한 값은
\begin{equation}
u_{j}=\frac{1}{44} \bigl(5 \bigl(10-3 \sqrt{11}\bigr)^{2
j-1}+5\bigl(10+3 \sqrt{11}\bigr)^{2 j-1}-56\bigr)
\label{uj1}
\end{equation}

(21)

입니다. 위 내용의 증명은 다소 복잡하여 생략하고, 자세한 내용은 [4] 의 제 4절을 참고하시기 바랍니다. 위의 사실들을 이용하면 다음 정리를 얻을 수 있습니다.

정리 2. 

\begin{equation*}
(a, b, c)=\bigl(1, \,\alpha_j, \,-(1+\alpha_j)\bigr), \quad (d,e,f)=(-a,-c,-b)
\end{equation*}
라 두면,
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n (a+bk+ck^2)(d+ek+fk^2)=T_{ n – 1 }\Bigl( \frac {(1+ n ) (2- 3 n ^ 2) }{
3 ( 3 + 2 u_j ) } + ( 2 n+3 ) T_{ n – 1 }\Bigr).
\label{ggb8}
\end{equation}

(22)

등식 (22)는 임의의 $n$에 대해 좌변과 우변을 각각 계산하여 서로 같음을 확인할 수 있습니다. 다만 손으로 계산하기에는 다소 복잡하므로, 컴퓨터 대수의 도움을 받는 것이 좋습니다. 한편, 등식 (22)에는 $\sqrt{11}$의 연분수 전개, 삼각수 등이 사용되어 매우 흥미롭습니다.

이제 등식 (22)로부터 정리 1에 있는 등식 (19)를 이끌어내 보겠습니다. $j \rightarrow \infty$일 때, (21)에 의하여 $u_j \rightarrow \infty$이고, (20)에 의하여
$$
\alpha_j \rightarrow \frac { -1+\sqrt{11}}2, \quad -(1+\alpha_j)\rightarrow \frac{ -1-\sqrt{11}}2
$$
입니다. 따라서 $b’=\bigl(-1+\sqrt{11}\bigr)/2$, $c’=\bigl(-1-\sqrt{11}\bigr)/2$일 때, 등식 (22)의
\begin{align*}
&\text{(좌변)} \rightarrow \sum_{k=1}^n \bigl(1+b’k+c’k^2\bigr)\bigl(-1-c’k-b’k^2\bigr)\\
&\text{(우변)} \rightarrow ( 2 n+3 ) T_{ n – 1 }^2
\end{align*}
이 됩니다. 즉, 등식 (19)는 등식 (22)의 $j \rightarrow \infty$인 경우에 해당합니다. 따라서 등식 (19)는 등식 (22)의 극한적 경우가 됩니다.

정리 1과 정리 2는 증명은 쉽지만 발견하기는 어렵습니다. 특히 많은 수들 중에서 무리수 $\sqrt{11}$이 등식 (19)에 등장하는 이유에 대해 필자는 알지 못합니다. 필자는 컴퓨터 대수를 이용해 수많은 실험을 하며 패턴을 읽고 그것을 해석하려고 했을 뿐입니다.

그 밖의 확장

이 글에서 언급된 니코마쿠스 등식의 확장 외에, 다항식
\begin{equation*}
P_n(x)=\sum_{k=1}^n k^3 x^k -\Bigl( \sum_{k=1}^n k x^k \Bigr)^2
\end{equation*}
과 정수들의 유한집합 $\sigma=\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$에 대한 연산자
$$
\nu(a_1, a_2, \ldots, a_n)=\Bigl(\sum_{k=1}^n a_k \Bigr)^2-\sum_{k=1}^n a_k^3
$$
를 고려할 수 있습니다. 니코마쿠스 등식에 의해 $P_n(1)=0$이고 $\nu(1, 2, 3, \ldots, n)=0$이므로, 우리가 공부할 수 있는 내용으로는 다음이 있습니다:

(ㄱ) 다항식 $P_n(x)$의 전개된 모습^{closed form}, 영점 분포^{zero locations},

(ㄴ) $\nu=0$을 만족시키는 정수들의 집합 $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$을 찾는 문제.

(ㄱ)에 대한 기존 연구는 거의 알려져 있지 않으나, 필자와 스톨라스키^Stolarsky가 여러 결과를 보유하고 있습니다(아직 학술지에 제출된 적은 없습니다). (ㄴ)에 대한 내용은 [1], [6] 을 참고하시기 바랍니다.

마지막으로, [5] 에서 소개된 니코마쿠스 등식의 바르나르 $q$-유사 (9)와 관련된 흥미로운 관찰을 소개하며 글을 맺고자 합니다. 니코마쿠스 등식 (2)는 $n\rightarrow \infty$일 때 의미 있는 극한을 주지 않지만, 그 확장인 바르나르의 $q$-유사 (9)의 좌변 혹은 우변은 $n\rightarrow \infty$, $|q|<1$에서 다음으로 수렴합니다:
\begin{align}
G(q)&=\frac{1}{(1-q)^2 \left(1-q^2\right)^2}\nonumber\\
&= 0\cdot q^{-2}+0\cdot q^{-1}+1+2q+5q^2+8q^3+14q^4+20q^5+\cdots.
\label{eq13}
\end{align}

(23)

(23)에서 세 개의 연속된 계수의 합으로 이루어진 집합은
\begin{equation*}
\{1,\, 3, \,8, \,15,\, 27, \,42,\, 64,\, 90, \,\ldots\}
\label{eq14}
\end{equation*}
입니다. 이 가운데 홀수 위치에 있는 원소들
\begin{equation*}
1, \ 8, \ 27, \ 64, \ \ldots
\label{odt1}
\end{equation*}
은 양의 정수의 세제곱임을 보일 수 있으며, 이는 니코마쿠스 등식
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^3=\Bigl(\frac {n(n+1)}{2} \Bigr)^2
\label{eq17}
\end{equation}

(24)

의 좌변 항들과 일치합니다. 한편 짝수 위치의 원소들은
\begin{equation*}
\{s(1),\, s(2), \,s(3),\, \ldots\}=\{3,\, 15,\, 42,\, 90,\, \ldots\},
\end{equation*}
여기서
\begin{equation}
s(k)=\frac 12 k(k+1)(2k+1)=3\sum_{m=1}^k m^2
\nonumber
\end{equation}
임을 보일 수 있으며, 이는 등식
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n s(k)=\frac {n(n+1)}{2}\cdot\frac {(n+1)(n+2)}2
\label{eq18}
\end{equation}

(25)

의 좌변 항들입니다. (24)의 우변이 삼각수의 제곱이었던 것과는 달리, (25)의 우변은 연속된 두 삼각수의 곱이라는 점이 흥미롭습니다.

위의 관찰에서 바르나르의 (9)가 니코마쿠스 등식 (24)의 $q$-유사였던 것처럼, [5] 에서는 등식 (25)에 대응하는 $q$-유사를 구해 이를 바르나르의 $q$-유사의 쌍동이^twin라 부르고, 바르나르의 $q$-유사와 그것의 쌍동이를 비교 연구 하였습니다. 필자는[5] 에서 제시한 방법과 결과 외에, 이 글을 읽는 독자들 가운데 누군가가 더 간결하고 우아한 접근을 발견해 주기를 기대해 봅니다.