정수론의 기라성같은 대가들이 여럿 모여 있는 런던에서는 매주 수요일 오후에 정수론 합동 스터디 그룹과 세미나 강연이 열리는데, 주로 런던과 근교 대학에 재직 혹은 방문 중인 정수론 전공 수학자들이 참가한다. 2011년 여름학기에는 다니야마-시무라 가설의 증명 등으로 유명한 프레드 다이아몬드Fred Diamond 교수가 스터디 그룹을 조직하였는데, 주제로 선정한 논문은 마이클 해리스Michael Harris와 리차드 테일러Richard Taylor가 십여년 전에 증명한, \(\mathrm{GL}_n\)에 대한 국소 랭글랜즈 상관관계의 길고 복잡한 증명을 효율적이고 명료한 방법으로 다시 증명한 결과라고 하였다. 놀랍게도 이 결과는 당시 독일의 본 대학Universität Bonn에서 박사과정을 밟고 있는 만 22세의 대학원생이 낸 (박사논문도 아닌) 석사논문 결과였다. 사실 이 대학원생은 2010년 9월에 하버드 대학 정수론 세미나에 초청받아 자신의 “석사논문결과”를 발표하였고, 이미 정수론 학계에서 유명인사가 되어 있었다. 당시 하버드 대학 세미나에 참석한 청중들은 연사의 어린 나이에 먼저 놀랐고, 강연 내용이 어린 나이의 대학원생이라고 믿기 힘들 정도로 고차원적이어서 더욱 놀랐다고 회고한다.

이 1987년생 대학원생의 석사논문에서 파생된 논문 중 두 편은 최고 권위 학술지 중 하나인 인벤티오네스 마테마티카에Inventiones Mathematicae에 출판되었다.[10][11] 그리고 이 저자는 2012년에 석사논문보다 훨씬 더 큰 센세이션을 일으킨 박사논문[9]으로 2년만에 박사학위를 마쳤고, 박사학위를 취득하자마자 만 24세의 나이로 본 대학의 정교수로 임용되어 독일 역사상 최연소 교수가 되었다. 박사논문에서 개발한 퍼펙토이드 공간perfectoid space 이론은 \(p\)진 해석기하\(p\)-adic analytic geometry의 새로운 지평을 열었을 뿐만 아니라, 산술기하와 정수론에 응용되어 놀라운 결과들을 계속해서 내고 있다. 그 이후에도 정수론과 산술기하, 심지어는 대수적 위상수학에 이르는 다양한 분야에서 혁명적인 업적을 끊임없이 내고 있으며, 2018년 8월 브라질 리오에서 개최 중인 세계수학자대회International Congress of Mathematicians에서 Period maps in \(p\)-adic geometry라는 제목의 기조강연plenary lecture을 할 예정이다. 8월 1일 세계수학자대회 개회식에서 캠브리지 대학 코체르 비르카르Caucher Birkar교수, ETH 대학의 알레시오 피갈리Alessio Figalli교수, IAS의 악샤이 벤카테슈Akshay Venkatesh교수와 함께 필즈메달을 수상한 이 수학자는 바로 페터 숄체Peter Scholze이다.

  The Simons Foundation, IMU 

 

페르마의 마지막 정리의 증명

페터 숄체는 1987년 12월, 구 동독의 드레스덴Dresden에서 태어나, 저명한 독일 수학자를 많이 배출한 수학, 과학 특성화 중고등학교인 하인리히-헤르츠-김나지움Heinrich-Hertz-Gymnasium을 2007년에 졸업하였다(흥미롭게도 페터 숄체의 박사과정 지도교수인 미하엘 라포포르트Michael Rapoport 교수 역시 1967년에 같은 학교를 졸업하였다). 2004년부터 대학교 진학하기 전까지 4번에 걸쳐 독일 대표로 국제수학올림피아드에 출전해 금메달 3개와 은메달 1개를 받기도 하였다.

 

숄체는 하인리히-헤르츠-김나지움 재학 시절부터 이미 대학교 수준의 수학을 독학하였으며, 또한 이 시기에 페르마의 마지막 정리Fermat’s Last Theorem가 앤드류 와일즈Andrew Wiles에 의해 증명되었다는 사실을 알게 되었다. 페르마의 마지막 정리는 \(n\)이 \(3\) 이상인 정수일 때 방정식 \[x^n+y^n=z^n\]이 0이 아닌 정수해를 가질 수 없다는 정리로, 페르마가 증명했음을 주장하였으나 1990년대에 와일즈가 최초로 검증된 증명을 발표하기 전까지 400여 년간 어떤 수학자도 증명을 찾을 수 없었던 정수론의 대표적 난제였다. 비교적 쉽게 기술할 수 있는 결과와는 달리, 와일즈의 증명은 현대 대수적 정수론과 보형표현론의 최신 결과들을 중요하게 사용한 복잡한 증명이다. 당시 만 16세의 학생이었던 숄체는 와일즈의 증명을 전혀 이해할 수는 없었지만 깊이 매혹되었고, 와일즈의 증명을 이해하기 위한 배경지식을 공부하기 시작하였다.1

 

사실 와일즈 증명의 핵심은 랭글랜즈 프로그램Langlands Programme의 일부분인 다니야마-시무라 가설Taniyama-Shimura conjecture을 증명하여 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것이다. 따라서 현재 숄체의 연구가 랭글랜즈 프로그램에 중요하게 응용되고 있는 것은 전혀 우연이 아닐지도 모른다. 이런 측면에서 와일즈의 페르마의 마지막 정리 증명을 다시 살펴보며, 숄체의 최신 연구결과에 대한 맥락과 동기를 부여하고자 한다.

 

다니야마-시무라 가설과 페르마의 마지막 정리

먼저 아래와 같은 이변수 정수계수 삼차함수를 생각해보자.
\[
E(x,y):= y^2+a_1xy+a_3 y – x^3 – a_2x^2 – a_4x – a_5
\]
이제 세 식 \[E(x,y) = 0,~\frac{\partial}{\partial x}E(x,y)=0,~\frac{\partial}{\partial y}E(x,y) = 0\]

 

을 동시에 만족시키는 복소수 \(x\), \(y\)가 존재하지 않도록 정수인 계수 \(a_1,a_2, a_3, a_4, a_5\)를 고르자(예를 들면 \(E(x,y) = y^2+y-x^3+x^2\)는 위의 조건을 만족한다). 그러면 실변수 \(4\)차원 공간 \(\mathbb{C}^2\)에서 삼차방정식 \(E(x,y) = 0\)을 만족하는 복소해가 만드는 공간을 그려보면, 옆의 그림처럼 종수genus \(1\)인 콤팩트 리만곡면에서 \(\infty\)라고 표시한 한 점을 뺀 열린 다양체open manifold를 얻게 된다(이 결과는 19세기수학자 카를 바이어슈트라스Karl Weierstraß에 의해 알려졌다).


 

보통 유리수체 위의 타원곡선은, 위에서 서술한 조건을 만족하는 정수계수 삼차방정식 \(E(x,y) = 0\)이 정의하는 “기하학적 공간”이라고 생각할 수 있다(“기하학적 공간”이라는 애매한 용어를 쓴 이유는 이것을 엄밀하게 정의하려면 대수적 다양체algebraic variety라는 개념이 필요하기 때문이다).2

 

위와 같이 유리수체 위의 타원곡선을 정의하는 정수계수 다항식 \(E(x,y)=0\)이 주어졌을 때, 정수론을 연구하는 입장에서 유용한 수단은 임의의 소수 \(p\)에 대해 합동인 해를 고려하는 것이다. 개략적으로 말하면 다니야마-시무라 가설Taniyama-Shimura conjecture은 임의의 유리수 체 위에 “타원 곡선” \(E(x,y)=0\)이 주어졌을 때 거의 모든 소수 \(p\)에 대한 \(E(x,y)\equiv0\pmod p\)의 합동근 개수의 정보를 푸리에 계수Fourier coefficients에 담고 있는 모듈러 형식modular form이 존재한다는 가설이다.

 

이 가설의 놀라운 점은 정수론의 영역인 정수계수 삼차방정식의 \(p\)에 대한 합동근의 개수와, 해석학의 영역인 모듈러 형식의 푸리에 계수라는 서로 완전히 다른 정보 사이의 상관관계라는 점이다. 또한 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면, 그 반례를 사용해 다니야마-시무라 가설의 반례를 만들 수 있다는 사실이 이미 1980년대에 알려졌다.

다니야마-시무라 가설은, 거의 대부분의 유리수체 위의 타원곡선에 대해서는 앤드류 와일즈Andrew Wiles[16]가, 이후 남아있던 기술적으로 다루기 어려운 타원곡선은 브뢰유Christophe Breuil, 콘래드Brian Conrad, 다이아몬드Fred Diamond, 테일러Richard Taylor의 공동연구[4]로 해결되었다. 

다니야마-시무라 가설은 처음에 페르마의 마지막 정리의 증명에 사용되면서 주목받았다. 하지만 점점 그 결과와 증명방법이 대수적 정수론에서 수많은 혁명적인 결과를 증명하는 데 직간접적으로 큰 영향을 끼치면서 대수적 정수론의 지형을 바꿔놓았다. 또한 다니야마-시무라 가설이 랭글랜즈 프로그램Langlands programme의 특수한 경우라는 점에서, 정수론 전문가 사이에 랭글랜즈 프로그램에 대한 관심과 이해도가 크게 증가하였다. 실제로 최근 20여 년간 랭글랜즈 프로그램 자체와 정수론에의 응용에 놀라운 진전이 있었고, 이번 글에서 소개하는 숄체 역시 최근 5년간 랭글랜즈 프로그램의 진전을 이끌고 있는 수학자 중 하나다.

 

다니야마-시무라 가설과 랭글랜즈 프로그램

이제 랭글랜즈 프로그램과 다니야마-시무라 가설의 관계를 간략하게나마 설명하고자 한다. 랭글랜즈 프로그램에 대해 보다 자세한 설명은 김연수 교수가 HORIZON에 기고한 “2018년 아벨상 수상자 로버트 랭글랜즈”를 참고하기 바란다.

다니야마-시무라 가설은 다음과 같은 상호관계로 도식화할 수 있다.

{유리수체 위의 타원 곡선} ↔ {특정한 모듈러 형식}

그리고 이 도식의 상관관계를 구현하기 위해 중요한 역할을 하는 것이 소위 모듈러 곡선modular curve이라고 불리는 대수적 다양체다.

유리수체 위의 \(\mathrm{GL}_n\)에 대한 랭글랜즈 상관관계를 극단적으로 단순화하여 도식화하면 아래와 같다.

갈루아 측면: {유리수체의 절대 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)의 \(n\)차원 표현 }

표현론 측면: {\(\mathrm{GL}_n/\mathbb{Q}\)의 보형 표현automorphic representations}


사실 정확히 말하면 상관관계의 양 측면에 특정한 좋은 조건을 만족하는 개체만 고려해야 하며, 위 도식에서 화살표는 어떤 자연스러운 성질들을 만족하는 대응관계이어야 한다(단순한 일대일 사상이라면 그다지 유용하지 않은 상관관계일 것이다).

 

\(\mathrm{GL}_2\)에 대한 랭글랜즈 상관관계는 다니야마-시무라 가설을 특수한 경우로 포함하며3, 그런 의미에서 \(\mathrm{GL}_n\)에 대한 랭글랜즈 상관관계는 다니야마-시무라 가설의 일반화로 보는 것도 가능할 것이다. 유리수체 위의 \(\mathrm{GL}_n\)에 대한 랭글랜즈 상관관계는 아직 완벽한 이해에 도달했다고 말할 수는 없지만, 약 20년 전에 시작된 마이클 해리스Michael Harris와 리차드 테일러Richard Taylor의 연구[7]를 토대로 수많은 진전이 있었다. 중요한 관찰 중 하나는 다니야마-시무라 가정을 증명할 때 모듈러 곡선이 중요한 역할을 했듯이 랭글랜즈 상관관계에 접근할 때 모듈러 곡선의 다차원 일반화인 시무라 다양체의 연구가 중요한 역할을 한다는 것이다. 숄체 역시 최근에 시무라 다양체의 연구를 통해 랭글랜즈 상관관계에 대한 매우 중요한 결과[13]를 낸 바 있다.

 

국소 랭글랜즈 상관관계와 만 22세의 페터 숄체

유리수체 위에서의 랭글랜즈 상관관계에 대해 지금까지 많은 이해가 이루어졌지만, 실제로는 상관관계의 양변 모두 극도로 복잡한 개체들이다. 따라서 양변의 개체들을 조금 더 “단순한 부분”으로 환원하여 연구하는 것이 유용하고, 이런 측면에서 소개된 것이 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)에 대한 국소 랭글랜즈 상관관계이다. 도식화하면 주어진 소수 \(p\)에 대해 어떤 “자연스러운 성질”을 만족하는 아래와 같은 상관관계를, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)에 대한 국소 랭글랜즈 상관관계라고 한다.

갈루아 측면: {\(p\)진수체의 절대 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\)의 \(n\)차원 표현}

표현론 측면: {\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)의 기약 표현irreducible representations}

잠시 유리수체 위의 랭글랜즈 상관관계와 위의 국소 랭글랜즈 상관관계 간의 관계를 설명하기 위해 두 상관관계의 양변을 비교해보자. 먼저 갈루아 표현 측면을 보면 \(p\)진수체의 절대 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\)은 유리수체의 절대 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)의 위상적 부분군으로 볼 수 있으므로, \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)의 \(n\)차원 표현이 있으면 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\)의 표현을 얻을 수 있다. 또한 표현론 측면을 보면, 분해정리decomposition theorem에 의해 \(\mathrm{GL}_n/\mathbb{Q}\)의 보형 표현 또한 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)의 기약 표현의 곱으로 쓸 수 있다. 요약하면 국소 랭글랜즈 상관관계의 양변은 유리수체 위의 랭글랜즈 상관관계의 양변이 담고 있는 정보의 일부분으로 생각할 수 있다. 여기에서 강조하고 싶은 점은, 국소 랭글랜즈 상관관계의 양변은 유리수체 랭글랜즈 상관관계의 양변보다 비교적 덜 복잡하며 심지어는 양변의 개체를 어느 정도 분류하여 이해하는 것이 가능하기에, 국소 랭글랜즈 상관관계가 (여전히 어렵지만) 조금 더 접근하기 쉬운 문제라는 점이다.

\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)에 대한 국소 랭글랜즈 상관관계는 마이클 해리스와 리차드 테일러가 2001년에 출판한 단행본[7]에서 완전히 증명하였으며, 이는 정수론의 중요한 결과로 널리 사용되고 있다. 해당 증명은 시무라 다양체Shimura varieties 위의 산술 기하와 베르코비치Berkovich의 \(p\)진 해석기하 이론\(p\)-adic analytic geometry, 그리고 보형 표현론의 깊은 결과들이 미묘하게 얽혀 있는 극도로 복잡한 증명이다. 제임스 밀른James Milne은 해리스와 테일러의 단행본에 관해 매스사이넷MathSciNet에 기고한 비평에서 “어떤 수학자도 이 책에 사용된 모든 정리를 친숙하게 알고 있다고 말하기 힘들 것이다it is unlikely that any single mathematician can claim familiarity with the proofs of all statements used in the present monograph.“라고 말하였다.

만 22세의 대학원생이었던 페터 숄체는 석사논문[11]에서 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)에 대한 국소 랭글랜즈 상관관계를 좀 더 개념적이고 명료하며 단순화된 방식으로 증명하며 혜성같이 등장하였다. 물론 배경지식을 설명해야 하는 단행본과 배경지식을 생략할 수 있는 연구논문의 페이지 수를 비교하는 것은 불공평하겠지만, 해리스와 테일러의 288페이지 증명을 숄체는 53페이지로 줄였다. 페터 숄체의 “새로운 증명”은 어떤 의미에서 해리스와 테일러의 증명을 원저자보다 훨씬 깊이 이해하여 가장 자연스러우면서도 효율적인 방법으로 다시 쓴 것이라고 볼 수 있다.

 

숄체의 박사논문과 직후에 발표한 후속 결과들은 언뜻 보기에 국소 랭글랜즈 상관관계와는 직접적인 연관이 적어 보이지만, 최근 수년간 숄체는 국소 랭글랜즈 상관관계의 새로운 증명에 대해 연구하고 있다. 현재 숄체가 연구 중인 새로운 증명은 단순히 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)\)뿐만 아니라 다른 리덕티브 군reductive group\(G(\mathbb{Q}_p)\)에서도 작동할 수 있기에 좀 더 일반적인 국소 랭글랜즈 상관관계를 얻을 수 있을 것으로 보인다. 그 기반에는 숄체의 박사논문[9]에서 시작된 퍼펙토이드 공간의 이론이라는 \(p\)진 해석기하의 새로운 접근법이 중요하게 쓰인다.4 지금부터는 숄체가 확립하고 있는 퍼펙토이드 공간에 대해 이야기해보고자 한다.

 

\(p\)진수란?

먼저 임의의 체field \(K\)의 절대값absolute value이란 아래 조건들을 만족하는 함수 \(|\cdot|:K \to \mathbb{R}_{\geqslant0}\)로 정의한다.

  1. \(\forall x\in K\), \(x=0 \Longleftrightarrow |x|=0\)
  2. \(\forall x,y\in K\), \( |xy|=|x||y|\)
  3.  (삼각부등식triangular inequality) \(\forall x,y\in K\),  \(|x+y|\leq |x|+|y|\)
  4.  

이 정의를 유리수체 \(K = \mathbb{Q}\)에 응용하면, 오스트롭스키의 정리Ostrowski’s theorem에 의해 모든 \(\mathbb{Q}\)의 절대값은 아래 세 가지 절대값 중 하나와 “동치”이다.

  1. 아르키메데스 절대값Archimedean absolute value \(|\cdot|_\infty\): \(x\)양수이면 \(|x|_\infty = x\)이고, \(x\)가 음수이면 \(|x|_\infty = -x\)로 정의한다.
  2. \(p\)진 절대값\(p\)-adic absolute value \(|\cdot|_p\): 고정된 소수 \(p\)에 대해, \(|p|_p=\frac{1}{p}\), \(p\)와 서로소인 정수 \(d\)에 대해서는 \(|d|_p=1\)로 정의하고 다른 유리수에 대해서는 이 정의를 확장한다.
  3. 자명한 절대값trivial absolute value \(|\cdot|_0\): 모든 \(0\) 아닌 \(x\)에 대하여 \(|x|_0=1\)로 정의한다.

 

먼저 자명한 절대값은 무시하자. 아르키메데스 절대값 \(|\cdot|_\infty\)은 우리가 보통 사용하고 있는 절대값으로, 이 절대값에 대해 유리수체를 완비화completion하면 실수체를 얻게 되고, 그 대수적 폐포algebraic closure인 복소수체로도 절대값을 확장할 수 있다.5

 

지금부터 살펴보고자 하는 것은 \(p\)진 절대값 \(|\cdot|_p\)이다. 명시적인 예를 들기 위해 소수를 \(p=7\)로 고정하고 \(7\)진 절대값 \(|\cdot|_7\)을 사용하여 유리수의 크기를 정한다면, \(7^{10000}\)은 매주 작은 수가 되고 \(7^{-10000}\)은 매우 큰 수가 되며 \(1+7^{10000}\)의 크기는 \(1\)과 같게 된다. 다만 정의를 자세히 살펴보면 두 정수 \(x\)와 \(y\)가 큰 \(7\)의 거듭제곱에 대해 합동일수록 \(7\)진 절대값이 정의하는 \(x\)와 \(y\) 사이의 거리가 가까워진다는 것을 관찰할 수 있다. 즉 \(p\)진 절대값은 우리가 공간에 대해 갖고 있는 물리적인 직관과 맞지 않기 때문에 이상해 보일 수 있지만, 정수론을 공부하는 입장에서 보면 \(p\)에 대해 합동이라는 “산술적 정보”를 “해석적인 언어”로 번역하는 유용한 수단이다.

\(p\)진 절대값을 사용해 “해석학”을 하기 위해서는 유리수체를 완비화해 하는데, \(p\)진 완비화로 얻은 체가 바로 \(p\)진수체 \(\mathbb{Q}_p\)다. 재미있는 점은 실수체와 달리 \(p\)진수체에는 상당히 복잡한 갈루아 이론이 있다는 것이다. (실수체의 경우 절대 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\)은 항등원identity과 켤레 복소수 함수complex conjugation로 이루어진 차수order \(2\)의 군인 반면, \(p\)진수체의 절대 갈로아 군 \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\)은 복잡한 구조를 갖는 무한군이다.) 즉 복소해석기하complex analytic geometry와 달리, \(p\)진 해석기하\(p\)-adic analytic geometry에서는 \(p\)진수체의 갈루아 표현론에의 흥미로운 응용을 기대할 수 있다.

 

 \(p\)진수체 위의 해석기하와 퍼펙토이드 공간

숄체가 박사논문[9]에서 퍼펙토이드 공간을 도입하고 연구한 원래 목적은, 산술기하의 중요한 난제 중 하나인 웨이트-모노드로미 가설Weight-monodromy conjecture을 풀기 위해서였다. 실제로 숄체는 퍼펙토이드 공간 이론을 이용하여 기존에 알려져 있지 않은 일부 경우에 대해 웨이트-모노드로미 가설을 해소하였지만, 일반적인 경우에 완전히 해소하는 것은 현재로서는 실패하였다. 하지만 퍼펙토이드 공간 이론은 정수론 및 산술기하 분야에서 빠르게 응용되고 있으며, 특히 \(p\)진 호지 이론\(p\)-adic Hodge theory과 랭글랜즈 프로그램 등 어렵고 중요한 여러 분야에서 놀라운 결과를 내는데 사용되고 있다.

퍼펙토이드 공간은 어떤 \(p\)진 해석적 공간으로 정의되므로, 퍼펙토이드 공간을 이야기하기 위해선 \(p\)진 해석기하에 대한 설명이 필요하다. 하지만 이 글에서 \(p\)진수체 위의 해석기하에 대해 포괄적으로 소개를 하는 것은 무리이기에, 대신 \(p\)진 해석 다양체\(p\)-adic analytic manifold에 대한 일종의 국소적 기술local description을 설명하는 데 만족하고자 한다. 또한 명시적인 효과를 위해 차원이 \(1\)인 경우에 집중하고자 한다.

 

복소 차원이 \(1\)인 복소 다양체complex manifold는 국소적으로는 복소평면 속의 반경이 \(1\)인 열린 원판open unit disk처럼 보인다.6 이 복소평면 위의 열린 원판은 위상적으로 축약 가능하며contractible, 당연히 단일 연결 공간simply connected space이다.

 

이제 복소 해석기하와의 비교를 위하여 \(p\)진 해석기하에서 “반경\(1\)인 열린 원판”에 해당하는 \(p\)진 해석 다양체 \(\Delta\)가 무엇일지 생각해보자. 먼저 복소해석기하에서는 실수체 대신 복소체를 고려했기에, \(p\)진 해석기하에도 복소체 대신 다음 성질을 만족하는\(p\)진수체 \(\mathbb{Q}_p\)의 확장체 \(C\)를 고려할 것이다. 우리가 고려하는 \(C\)는 \(p\)진수체 \(\mathbb{Q}_p\)를 포함하는 대수적으로 닫힌 체이고, 어떤 절대값 \(|\cdot|:C\to\mathbb{R}_{\geqslant0}\)에 대해 완비되어 있으며, 그 절대값이 \(\mathbb{Q}_p\)에서는 \(p\)진 절대값을 유도하는 것을 가정한다.

그러므로 위와 같이 \(C\)를 고른 후7, 아래와 같이 \(1\in C\)를 중심으로 한 반경\(1\)의 열린 원판을 생각하자.
\[
\Delta_{C} = \{x\in C:\ |x-1|<1 \}.
\]
\(p\)진 해석 다양체를 정확히 정의하기는 쉽지 않기 때문에, 직관을 갖기 위해서 임시로 위 공간을 \(p\)진 해석 다양체로 “간주”하자.8 또한 매끈한 \(1\)차원 \(p\)진 해석 다양체smooth \(1\)-dimensional \(p\)-adic manifold는 (어떻게 정의되건 간에) “국소적”으로는 반경\(1\)의 열린 원판처럼 보일 것이다.

그런데 단일 연결 공간인 복소 열린 원판과는 다르게, \(\Delta_C\)는 자명하지 않은 피복 공간covering space을 매우 많이 허용한다. 일례로 \(C\)가 \(p\)진 절대값에 대한 완비체임을 이용하여 아래와 같은 사상map을 만들 수 있다.
\[
\pi:\Delta_C \xrightarrow{x\mapsto x^p}\Delta_C.
\]

(참고로 복소수체 위에선 \(x\mapsto x^p\)로 정의한 사상은 \(1\)을 중심으로 한 열린 원판을 보존하지 않는다.) 게다가 \(p\)진 해석기하학에서 \(\pi\)는 \(p\)대\(1\) 피복 사상covering map이다. 또한 다른 예로 아르틴-슈라이어 이론Artin-Schreier theory 역시 다수의 자명하지 않은 \(\Delta_C\) 위의 \(p\)대 \(1\) 피복 사상을 제공해주며, 사실 \(\Delta_C\)의 기본군fundamental group은 상당히 복잡하고 다루기 힘든 pro-\(p\)군이 된다. 어떤 의미에선 열린 원판 \(\Delta_C\) 역시 \(p\)진 해석 다양체의 국소적 모델로 사용하기에는 조금 “복잡한 위상topology“을 갖고 있다고 할 수 있으며, 그런 의미에서 복소해석기하의 직관을 가지고 \(p\)진 해석기하의 결과를 증명하려면 기술적으로 막히면서 복잡해지는 부분이 생기기도 한다.

 

숄체가 박사논문[9]에서 확립한 페펙토이드 공간 이론의 유용성 중 하나는, 소위 퍼펙토이드 공간이 좀 더 단순한 위상을 갖는 \(p\)진 해석 다양체의 “국소적 모델”을 제공한다는 점이다. 직관적으로 말하자면 퍼펙토이드 공간의 예를 만드는 방법은 특정 조건을 만족하는 \(p\)진 해석 다양체의 피복 공간의 “극한”을 취하는 것이다. 예를 들면 퍼펙토이드 열린 원판 \(\widetilde{\Delta}_C\)은 다음과 같은 \(\Delta_C\)의 피복 공간의 “극한”으로 생각할 수 있다.10

\begin{align*}
\widetilde{\Delta}_C
&:=\text{“}\varprojlim_{\pi}\Delta_C\text{”} \\
&=\{ (\cdots, x_i,\cdots, x_1,x_0):\ x_i\in \Delta_C, ~ x_{i+1}^p=x_i\}.
\end{align*}
이 퍼펙토이드 공간 \(\widetilde{\Delta}_C\)은 어떤 의미로는 \(\Delta_C\)의 피복공간이다. 비록 퍼펙토이드 열린 원판 \(\widetilde{\Delta}_C\) 역시 자명하지 않은 차수order\(p\)의 피복공간을 많이 허용한다는 의미에서 “단일 연결 공간”처럼 볼 수는 없지만, 퍼펙토이드 공간 위의 피복 공간은 임의의 \(p\)진 해석 다양체의 피복공간보다 훨씬 더 다루기가 수월하며, 숄체의 박사논문[9]에서 이와 관련된 기술적 결과들이 증명되었다.

 

퍼펙토이드 공간 이론의 응용: \(p\)진 코호몰로지의 비교

 

퍼펙토이드 공간 이론을 응용하면, 모든 매끈한 \(p\)진 해석 다양체는 “국소적”으로 퍼펙토이드 열린 원판의 거듭곱 \(\widetilde{\Delta}_C^n\)으로 묘사할 수 있게 된다.11 또한 앞에 언급했듯 퍼펙토이드 열린 원판 \(\widetilde{\Delta}_C\)은 위상적으로는 열린 원판보다 단순하다고 생각할 수 있다.

이 관찰은 \(p\)진 해석 다양체 위의 다양한 코호몰로지 이론을 비교하는, 소위 \(p\)진 호지 이론\(p\)-adic Hodge theory에 상당히 유용하게 쓰인다. 복소 해석 다양체의 경우, 드람 코호몰로지de-Rham cohomology와 특이 코호몰로지singular cohomology를 비교하는 드람 정리de-Rham theorem를 증명할 때, 푸앙카레 보조정리Poincaré lemma라고 불리는 국소적인 결과를 사용한다. 이와 비슷한 전략으로 숄체[12]는 “\(\mathbb{Q}_p\)위에 정의된 매끈한 콤팩트 해석 다양체 \(X\) 위에 드람 코호몰로지”와 “\(p\)진 해석기하에서 특이 코호몰로지 대신 사용하는 \(p\)진 에탈 코호몰로지\(p\)-adic étale cohomology“를 비교한 결과를 “국소적인 퍼펙토이드 공간 위의 푸앙카레 보조정리”를 통해 증명하였다. 사실 이 “\(p\)진 드람 정리”는, \(X\)가 \(\mathbb{Q}_p\) 위의 대수적 다양체에서 온 특수한 경우에 대해서는 게르트 팔팅스Gerd Faltings가 1980년대 후반[5]에 이미 증명했지만, 그의 증명은 따라가기가 쉽지 않으며 또한 숄체처럼 대수적으로 정의되지 않는 \(p\)진 해석 다양체에는 적용할 수 없다.

최근에는 바르가브 밧Bhargav Bhatt과 매튜 모로우Matthew Morrow의 공동연구로 좀 더 증명하기 복잡한 이론인 크리스탈린 코호몰로지crystalline cohomology와 에탈 코호몰로지étale cohomology의 비교에 관한 결과도 발표되었다.[1][2][3][13] 비록 본 지면에서 설명하기는 쉽지 않지만, 저자는 위 결과들이 단순히 기술적으로 난해하고 놀라운 결과에 그치는 것이 아니라, \(p\)진 코호몰로지 연구의 패러다임을 송두리째 재정의하는 변화의 초석과 같은 경이로운 결과라고 생각한다.

여담으로 숄체가 위의 연구를 진행하면서 대수적 위상수학 분야에서 어떤 증명이 필요해지자, 토마스 니콜라우스Thomas Nikolaus와의 공동연구를 통해 165페이지짜리 논문[8]을 발표하였다. 이 논문은 대수적 위상수학, 특히 \(K\)이론\(K\)-theory과 모티빅 코호몰로지Motivic cohomology와 관련해 매우 중요한 연구결과라고 한다. 숄체의 경이적인 연구 스펙트럼을 보여주는 예라고 할 수 있지 않을까.

 

퍼펙토이드  모듈러 곡선 및 시무라 다양체, 그리고 랭글랜즈 상관관계

복소 다양체로서의 모듈러 곡선은 상반 평면upper half plane을 \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)의 합동 부분군congruence subgroup의 뫼비우스 작용Möbius action으로 잘라 만든 대수적 곡선이다. 좀 더 자세히 쓰면 상반평면을 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[
\mathfrak{H}:=\{\tau\in\mathbb{C} : \mathrm{Im}(\tau)>0\}.
\]
그리고 \(\left(\begin{smallmatrix} a & b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)와 \(\tau\in\mathfrak{H}\)에 대해 뫼비우스 작용은 다음과 같이 정의된다.
\[\left(\begin{matrix} a & b\\c&d\end{matrix}\right)\tau:= \frac{a\tau+b}{c\tau+d}.\]
그리고 \(3\)보다 큰 정수 \(N\)에 대해서
\[\Gamma(N) := \left\{\left(\begin{smallmatrix} a & b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}): a,d\equiv 1\bmod{N},\ b,c\equiv0\bmod{N}\right\}\]
라고 놓으면 다음과 같은 복소 모듈러 곡선을 얻는다.
\[
Y(N):=\Gamma(N)\backslash \mathfrak{H}.
\]
즉 상반평면 \(\mathfrak{H}\)는 모듈러 곡선 \(Y(N)\)의 범피복 공간universal cover이며, 복소 해석적으로 모듈러 형식을 공부할 때 이러한 사실을 유용하게 활용할 수 있다.

모듈러 곡선은 유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위에서도 정의될 수 있기 때문에 \(Y(N)\)을 \(p\)진수체 \(\mathbb{Q}_p\)위의 해석 다양체로도 볼 수 있다. 다만 상반평면은 복소기하에서만 정의될 수 있어서 \(p\)진 해석 다양체의 경우에는 자명하게 정의할 방법이 없다. 또한 \(p\)진 해석기하에서는 범피복 공간을 만드는 것이 저자의 지식으론 일반적으로 불가능하기 때문에 \(p\)진 해석 다양체 버전의 상반평면을 단순히 \(Y(N)\)의 범피복 공간으로 정의할 수도 없다.

여기에서 퍼펙토이드 이론의 예상치 못한 응용이 무대에 등장한다. 숄체는 우선 \(\{Y(p^nN)\}_n\)의 “극한”에 해당하는 퍼펙토이드 곡선 \(Y(p^\infty N)\)을 건설하였다(사실 퍼펙토이드 공간의 정의는 상당히 미묘해서, 단순히 임의의 피복공간의 극한이 퍼펙토이드 공간을 정의할 이유는 전혀 없다. 즉 \(Y(p^\infty N)\)의 존재성 자체가 자명하지 않은 정리이다). 또한 숄체는 \(p\)진 해석적으로 보간interpolate한 모듈러 형식을 \(Y(p^\infty N)\)의 코호몰로지를 통해 연구할 수 있다는 점을 보였다. 어떤 의미에선 퍼펙토이드 곡선 \(Y(p^\infty N)\)은 \(p\)진 해석 기하 이론에서 \(\mathfrak{H}\)의 대용으로 쓸 수 있는 공간인 것이다.

 

사실 숄체는 이 결과를 모듈러 곡선 뿐만 아니라 모듈러 곡선의 다차원 일반화인 시무라 다양체에도 얻었으며, 그 응용으로 \(\mathrm{GL}_n/\mathbb{Q}\)에 대한 랭글랜즈 상관관계 중 보형표현에서 갈루아 표현으로 가는 화살표를 더 일반화한 결과 [13]을 얻었다.12

 

맺음말

2018년 세계수학자대회 기조강연을 앞두고 미리 공개한 서베이 논문survey article \(p\)-adic geometry[15]에서 페터 숄체는 현재까지의 \(p\)진 해석기하 이론, 코호몰로지 이론, 그리고 랭글랜즈 프로그램에 대한 자신의 주요 결과를 개략적으로 소개하면서, 그가 현재 연구하고 있는 국소 랭글랜즈 상관관계에 대한 \(p\)진 해석 기하적인 접근, 그리고 유리수체 위 다양체의 “모티빅 코호몰로지”에 대해 상당히 대담한 예상을 기술해 놓았다.

지난 수년간 숄체의 연구에 대해 접하면서 느꼈던 패턴이 있다. 먼저 숄체가 정말 믿기 힘든 결과를 증명했다는 입소문이 퍼지고, 길지 않은 시간 내에 출판 전 논문이 완성되어 공개되는데, 실제로 증명을 접하면 입소문으로 들었을 때보다 더 감탄하게 된다. 특히 저자가 경외감을 느끼는 부분은, 숄체의 결과들이 하나같이 해당 분야를 바라보는 “가장 자연스러운 관점”을 제시하면서 그 분야의 새로운 방향을 열어갔다는 것이다. 세계수학자대회 기조강연을 위한 서베이 논문[15]에서 짧게나마 설명한, \(p\)진 슈튜카의 모듈라이 이론theory of moduli of \(p\)-adic shtukas을 통한 국소 랭글랜즈 상관관계의 기하적 접근 역시 \(p\)진 산술기하와 랭글랜즈 프로그램의 새로운 방향을 개척하는 결과이다. 앞으로 숄체가 수학에서 어떤 방향을 제시하며 어떤 길을 열어나갈지 동시대의 수학자로 지켜볼 수 있다는 것은 커다란 영광일지도 모른다.

참고문헌

  1. Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze, Integral \(p\)-adic Hodge theory-announcement, Math. Res. Lett. 22 (2015), no.6,1601-1612. MR 3507252
  2. Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze, Integral \(p\)-adic Hodge theory, Preprint (2016).
  3. Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze, Topological Hochschild homology and integral \(p\)-adic Hodge theory, Preprint (2018).
  4. C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, and R. Taylor, On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no.4, 843-939 (electronic). MR 2002d:11058
  5. Gerd Faltings, Crystalline cohomology and \(p\)-adic Galois-representations, Algebraic analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988), Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1989, pp.25-80. MR 1463696 (98k:14025) 
  6. Michael Harris, Kai-Wen Lan, Richard Taylor, and Jack Thorne, On the rigid cohomology of certain Shimura varieties, Res. Math. Sci. 3 (2016), Paper No. 37, 308. MR 3565594
  7. Michael Harris and Richard Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies, vol. 151, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001, With an appendix by Vladimir  G. Berkovich. MR 1876802 
  8. Thomas Nikolaus and Peter Scholze, On topological cyclic homology, Preprint (2017).
  9. Peter Scholze, Perfectoid spaces, Publ. Math. Inst. Hautes  Etudes Sci. 116 (2012), 245-313. MR 3090258 
  10. Peter Scholze, The Langlands-Kottwitz approach for some simple Shimura varieties, Invent. Math. 192 (2013), no.3, 627-661. MR 3049931
  11. Peter Scholze, The local Langlands correspondence for \(\mathrm{GL}_n\) over \(p\)-adic fields, Invent. Math. 192 (2013), no.3, 663-715. MR 3049932
  12. Peter Scholze, \(p\)-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties, Forum Math. Pi 1 (2013), e1, 77. MR 3090230 
  13. Peter Scholze, On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, Ann. of Math. (2) 182 (2015), no.3, 945-1066. MR 3418533
  14. Peter Scholze, Canonical \(q\)-deformations in arithmetic geometry, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 26 (2017), no.5, 1163-1192. MR 3746625
  15. Peter Scholze, \(p\)-adic geometry, ICM report preprint (2017). 
  16. Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Ann. of Math. (2) 141 (1995), no.3, 443-551. MR 1333035 (96d:11071)
  17.  
  18.  
김완수
KAIST 수리과학과 조교수