5월의 퍼즐에 참여해주신 모든 분들께 감사드립니다!
5월의 퍼즐에 참여해주신 분 중 정답과 함께 좋은 풀이를 보내주신 이광현님께
HORIZON에서 준비한 선물을 전달드릴 예정입니다.
이번 호 문제는 미국의 수학 단체인 Pi Mu Epsilon의 저널 3권 10호인 1964년 봄호에 게재된 시드니 크래비츠Sidney Kravitz의 문제를 조금 변형한 것이다.
두 자릿수를 제곱한 결과가 네 자릿수이므로, 두 자릿수는 32보다는 크거나 같아야 한다. 만약 두 자릿수가 32였다면 \(32^2 = 1024\)이므로 이것은 복면산 \(\mathrm{AB}^2=\mathrm{CDBE}\)의 답이라고 할 수 있다. 그런데 이 복면산의 답은 유일하지 않아서, \(82^2 = 6724\)도 같은 복면산의 답이 된다.
이런 식으로 두 자리 수를 제곱한 결과가 네 자릿수가 되는 경우를 복면산으로 나타내어 보면 다음과 같이 32가지 경우가 가능하다.
1. \(AA^2= ABCD: 99^2 = 9801\)
2. \(AA^2= BBCC: 88^2 = 7744 \)
3. \(AA^2= BCDA: 55^2 = 3025, 66^2 = 4356 \)
4. \(AA^2= BCDC: 77^2 = 5929 \)
5. \(AA^2= BCDE: 33^2 = 1089, 44^2 = 1936 \)
6. \(AB^2= ACDA: 97^2 = 9409 \)
7. \(AB^2= ACDB: 95^2 = 9025, 96^2 = 9216 \)
8. \(AB^2= ACDE: 98^2 = 9604 \)
9. \(AB^2= BCAC: 63^2 = 3969 \)
10. \(AB^2= BCDA: 64^2 = 4096 \)
11. \(AB^2= BCDB: 41^2 = 1681, 75^2 = 5625 \)
12. \(AB^2= BCDE: 52^2 = 2704, 87^2 = 7569 \)
13. \(AB^2= CAAB: 76^2 = 5776 \)
14. \(AB^2= CAAD: 83^2 = 6889 \)
15. \(AB^2= CABB: 50^2 = 2500, 60^2 = 3600 \)
16. \(AB^2= CADC: 68^2 = 4624 \)
17. \(AB^2= CADE: 37^2 = 1369, 49^2 = 2401 \)
18. \(AB^2= CBAD: 74^2 = 5476 \)
19. \(AB^2= CBDE: 73^2 = 5329, 89^2 = 7921 \)
20. \(AB^2=CCDE:\)
\(34^2=1156, 47^2=2209, 58^2=3364, 67^2=4489, 94^2=8836 \)
21. \(AB^2 = CDAE: 43^2 = 1849, 69^2 = 4761 \)
22. \(AB^2 = CDBB: 40^2 = 1600, 70^2 = 4900, 80^2 = 6400, 90^2 = 8100 \)
23. \(AB^2 = CDBE: 32^2 = 1024, 78^2 = 6084, 82^2 = 6724 \)
24. \(AB^2 = CDCB: 45^2 = 2025, 56^2 = 3136, 81^2 = 6561, 91^2 = 8281 \)
25. \(AB^2 = CDDB: 35^2 = 1225, 46^2 = 2116, 65^2 = 4225, 85^2 = 7225 \)
26. \(AB^2 = CDDD: 38^2 = 1444 \)
27. \(AB^2 = CDEA: 42^2 = 1764, 48^2 = 2304, 93^2 = 8649 \)
28. \(AB^2 = CDEB:\)
\(36^2 = 1296, 51^2 = 2601, 61^2 = 3721, 71^2 = 5041, 86^2 = 7396 \)
29. \(AB^2 = CDEC: 39^2 = 1521 \)
30. \(AB^2 = CDED: 92^2 = 8464 \)
31. \(AB^2 = CDEE: 62^2 = 3844 \)
32. \(AB^2 = CDEF:\)
\(53^2=2809, 54^2=2916, 57^2=3249, 59^2=3481, 72^2=5184,\)
\(79^2=6241, 84^2=7056\)
문제에서 처음에 이 복면산의 답이 유일하지 않다고 하였으므로 첫 번째 경우인 \(99^2=9801\)처럼 답이 유일한 복면산은 제외할 수 있다. 그리고 홀짝을 알면 답이 유일하게 결정된다고 하였으므로, 하나의 복면산에 대한 답이 하나만 홀짝이 다르고 나머지는 홀짝이 모두 같은 경우를 찾아야 한다. 예를 들어, 24번째 경우인 \(\mathrm{AB}^2 = \mathrm{CDCB}\)의 답은 한 경우만 짝수고 나머지 세 경우는 홀수이다.
이런 조건을 만족하는 경우를 찾아보면 다음 세 가지가 가능하다.
24. \( AB^2 = CDCB: 45^2 = 2025, 56^2 = 3136, 81^2 = 6561, 91^2 = 8281 \)
25. \( AB^2 = CDDB: 35^2 = 1225, 46^2 = 2116, 65^2 = 4225, 85^2 = 7225 \)
27. \( AB^2 = CDEA: 42^2 = 1764, 48^2 = 2304, 93^2 = 8649 \)
원래의 복면산 문제가 24번과 같은 \(AB^2 = CDCB\)였다면, 문제에서 짝수라는 조건이 있어서 복면산 문제를 풀던 두 사람은 \(56^2 = 3136\)을 알아낼 수 있다. 한편 원래의 복면산 문제가 25번과 같은 \(AB^2 = CDDB\)였다면, 이번에도 문제에서 짝수라는 조건이 있어서 복면산 문제를 풀던 두 사람은 \(46^2 = 2116\)을 알아낼 수 있다.
그렇지만 문제를 옆에서 듣기만 한 “나”는 짝수라는 조건을 들었다고 해도 복면산 문제가 24번의 \(AB^2 = CDCB\)인지 25번의 \(AB^2 = CDDB\)인지 알 수가 없다.
따라서 홀짝 조건을 듣고 복면산 문제를 하나로 결정할 수 있는 것은 27번인 \(AB^2 = CDEA\)뿐이며, 이 경우 홀수라는 조건이 주어졌음을 알 수 있고, 복면산의 답은 \(93^2 = 8649\)이다.
문제에서 두 자릿수를 제곱한 결과가 네 자릿수인 복면산을 풀고 있다고 하였는데, 실은 두 자릿수를 제곱한 결과가 네 자릿수라는 제한이 없어도, 즉 두 자릿수를 제곱한 결과가 세 자릿수인 경우까지 고려해도 답은 똑같다. 다만 문제를 푸는 과정에서 번거로울까봐 네 자릿수로 제한하였다.
다음은 5월의 정답자로 선정된 이광현님의 해설입니다.
2자리 수를 제곱하여 4자리가 되는 경우는 32 ~ 99 까지 총 68가지 경우만 확인하면 됩니다.
본문의 대화를 바탕으로 하면,
1. 해당 복면산은 답이 최소 3개 이상이어야 합니다.
2. 해당 복면산은 홀수인 답과 짝수인 답이 둘다 존재해야 합니다.
3. 홀/짝 둘중 한가지는 답이 1개뿐이고, 나머지는 답이 2개 이상이어야 합니다.
이에 해당하는 복면산은 총 3개가 답이 됩니다.
XY^2 = ABCX : 42 ^2 = 1764, 48 ^2 = 2304, 93 ^2 = 8649 (홀수가 정답인 경우)
XY^2 = ABAY : 45 ^2 = 2025, 56 ^2 = 3136, 81 ^2 = 6561, 91 ^2 = 8281 (짝수가 정답인 경우)
XY^2 = ABBY : 35 ^2 = 1225, 46 ^2 = 2116, 65 ^2 = 4225, 85 ^2 = 7225 (짝수가 정답인 경우)
답이 3개인건지 해석을 잘못한 것인지 모르겠는데, 마지막 B의 말을 메타언어처럼 해석하면.
XY^2 = ABCX 가 문제이고 93 ^2 = 8649 가 답인 것으로 보입니다.
